China Team Selection Test 2016 (2)

Mời các bạn xem phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 7. Cho là một điểm nằm trong tam giác nhọn . là các điểm đối xứng với qua tương ứng. Các tia cắt lại đường tròn ngoại tiếp tại tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của cùng đi qua một điểm khác .

Bài 8. Tìm số thực dương nhỏ nhất sao cho với mỗi điểm trên mặt phẳng, nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không vượt quá thì .

Bài 9. Cho là một tập hữu hạn gồm các số nguyên tố, là một tập vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho mọi phần tử của có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong . Chứng minh rằng tồn tại tập con vô hạn của thỏa mãn tổng của các phần tử trong mỗi tập con hữu hạn của có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong .

Ngày thứ hai

Bài 10. Với số nguyên dương (ở đây là số tự nhiên và là số nguyên dương lẻ) ta đặt . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương và số nguyên dương lẻ ta có là một bội của .

Bài 11. Có tồn tại hay không hai tập vô hạn các số nguyên dương sao cho mỗi số nguyên dương có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng Ở đây là số nguyên dương phụ thuộc và là các phần tử của , là các phần tử của .

Bài 12. Các đường chéo của tứ giác nội tiếp cắt nhau tại và tồn tại một đường tròn tiếp xúc với các phần kéo dài của tại tương ứng. Đường tròn đi qua hai điểm và tiếp xúc ngoài với tại . Chứng minh rằng .