China Team Selection Test 2016 (2)


Mời các bạn xem phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 7. Cho P là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC. D,E,F là các điểm đối xứng với P qua BC,CA,AB tương ứng. Các tia AP,BP,CP cắt lại đường tròn ngoại tiếp \triangle ABC tại L,M,N tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của \triangle PDL,\triangle PEM,\triangle PFN cùng đi qua một điểm T khác P.

Bài 8. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mỗi 12 điểm P_1,P_2,\ldots,P_{12} trên mặt phẳng, nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không vượt quá 1 thì \displaystyle\sum_{1\le i<j\le 12} |P_iP_j|^2\le \lambda.

Bài 9. Cho P là một tập hữu hạn gồm các số nguyên tố, A là một tập vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho mọi phần tử của A có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Chứng minh rằng tồn tại tập con vô hạn B của A thỏa mãn tổng của các phần tử trong mỗi tập con hữu hạn của B có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P.

Ngày thứ hai

Bài 10. Với số nguyên dương m=2^k\cdot t (ở đây k là số tự nhiên và t là số nguyên dương lẻ) ta đặt f(m)=t^{1-k}. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n và số nguyên dương lẻ a\le n ta có \displaystyle\prod_{m=1}^n f(m) là một bội của a.

Bài 11. Có tồn tại hay không hai tập vô hạn các số nguyên dương S,T sao cho mỗi số nguyên dương n có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng n=s_1t_1+s_2t_2+\ldots+s_kt_k? Ở đây k là số nguyên dương phụ thuộc ns_1<\ldots<s_k là các phần tử của S, t_1,\ldots, t_k là các phần tử của T.

Bài 12. Các đường chéo của tứ giác nội tiếp ABCD cắt nhau tại P và tồn tại một đường tròn \Gamma tiếp xúc với các phần kéo dài của AB,BC,AD,DC tại X,Y,Z,T tương ứng. Đường tròn \Omega đi qua hai điểm A,B và tiếp xúc ngoài với \Gamma tại S. Chứng minh rằng SP\perp ST.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s