Final Korean Mathematical Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E tương ứng là chân các đường cao qua B,C của tam giác. Gọi S,T lần lượt là các điểm đối xứng với E qua AC, BC. Đường tròn ngoại tiếp của \triangle CST cắt lại AC tại X (\not= C). Ký hiệu tâm của đường tròn ngoại tiếp \triangle CSTO. Chứng minh XO \perp DE.

Bài 2. Cho hai số nguyên n, k thỏa mãn n \ge 2k \ge \dfrac{5}{2}n-1. Chứng minh rằng với mỗi k điểm lưới với tọa độ (x;y) thỏa mãn x,y\in [n], tồn tại một đường tròn đi qua ít nhất 4 trong chúng.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x,y ta luôn có x-\dfrac{1}{x}+y-\dfrac{1}{y}\not=4.

Ngày thứ hai

Bài 4. Xét các số thực x,y,z thỏa mãn x^2+y^2+z^2=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy).

Bài 5. Cho \triangle ABC nhọn có tâm nội tiếp I và đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F tương ứng. Các đường thẳng BI, CI, BC, DI cắt EF tại K, L, M, Q tương ứng và đường thẳng qua trung điểm của CLM cắt đoạn CK tại P. Chứng minh PQ=\dfrac{AB \cdot KQ}{BI}.

Bài 6. Cho U là một tập gồm m tam giác. Chứng minh rằng tồn tại tập con W của U thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

(i) |W|\geq 0.45m^{\frac{4}{5}};

(ii) Không có các điểm A, B, C, D, E, F sao cho các tam giác ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB đều thuộc W.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s