China Team Selection Test 2016 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1. ABCDEF là lục giác nội tiếp với AB=BC=CD=DE. K là điểm trên cạnh AE sao cho \angle BKC=\angle KFE, \angle CKD = \angle KFA. Chứng minh KC=KF.

Bài 2. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mọi số phức {z_1},{z_2},{z_3}\in\{z\in C\big| |z|<1\} , nếu  z_1+z_2+z_3=0, thì \left|z_1z_2 +z_2z_3+z_3z_1\right|^2+\left|z_1z_2z_3\right|^2 <\lambda .

Bài 3. Cho số tự nhiên n \geq 2. Đặt

X = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_n) | a_k \in \{0,1,2,\cdots,k\}, k = 1,2,\cdots,n \}.

Với mỗi s = (s_1,s_2,\cdots,s_n) \in X, t = (t_1,t_2,\cdots,t_n) \in X, định nghĩa

s \vee t = (\max \{s_1,t_1\},\max \{s_2,t_2\}, \cdots , \max \{s_n,t_n\} )

s \wedge t = (\min \{s_1,t_1 \}, \min \{s_2,t_2,\}, \cdots, \min \{s_n,t_n\})

Tìm số phần tử lớn nhất có thể của một tập con thực sự A của X sao cho với mỗi s,t \in A, ta có s \vee t \in A, s \wedge t \in A.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho c,d \geq 2 là các số tự nhiên. Gọi \{a_n\} là dãy số xác định bởi a_1 = c, a_{n+1} = a_n^d + c với n = 1,2,\cdots.

Chứng minh rằng với mỗi n \geq 2, tồn tại số nguyên tố p sao cho p|a_np \not | a_i với i = 1,2,\cdots n-1.

Bài 5. Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp được tròn tâm O. Các phân giác trong của \angle A\angle C cắt nhau tại I, của \angle B\angle D cắt nhau tại J. Kéo dài ABCD đến cắt IJ tại PR tương ứng. Giả sử IJ cắt BCDA tại QS tương ứng. Gọi trung điểm của PR, QSM, N tương ứng. Biết O không nằm trên đường thẳng IJ, chứng minh OM\bot ON.

Bài 6. Cho m,n là các số nguyên dương thỏa mãn n \geq m \geq 2S là tập gồm n số nguyên dương. Chứng minh rằng S có ít nhất 2^{n-m+1} tập con sao cho mỗi tập con có tổng các phần tử chia hết cho m.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s