Divisibility


Bài 1. Chứng minh rằng 100\cdots 01 (200 chữ số 0) chia hết cho 1001.

Bài 2.  Cho số nguyên dương lẻ k. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, số 1^k+2^k+\cdots+n^k không là bội của n+2.

Bài 3.  Cho các số nguyên dương m,n với m>2. Chứng minh rằng 2^m-1 không chia hết 2^n+1.

Bài 4.  Cho các số nguyên dương nk. Chứng minh rằng trong dãy 1,2,\cdots,n có đúng \left[\frac{n}{k}\right] số chia hết cho k.

Bài 5. Giả sử có n số nguyên có tính chất: Hiệu giữa tích của n-1 số bất kỳ và số còn lại là bội của n. Chứng minh rằng tổng bình phương của các số này cũng là một bội của n.

Bài 6.  Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn ad-bc>1. Chứng minh rằng ít nhất một trong các số a,b,c,d không chia hết cho ad-bc.

Bài 7.  Tìm số nguyên dương x lớn nhất sao cho x chia hết 7^y+12y-1 với mọi số nguyên dương y.

Bài 8.  Tìm hai số nguyên dương a,b sao cho

1) ab(a+b) không chia hết cho 7;

2) (a+b)^7-a^7-b^7 chia hết cho 7^7.

Bài 9. Tìm số nguyên dương bé nhất không viết được dưới dạng \dfrac{2^a-2^b}{2^c-2^d}, ở đây a,b,c,d là các số nguyên dương.

Bài 10. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho nếu gọi qr lần lượt là thương và dư trong phép chia a^2+b^2 cho a+b thì q^2+r=1977.

Bài 11.  Tìm tất cả các cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho

ab^2+b+7|a^2b+a+b.

Bài 12. Cho x,y là các số nguyên khác -1 sao cho \displaystyle\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1} là số nguyên. Chứng minh x^4y^{44}-1 chia hết cho x+1.

Bài 13.  Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n>1, tồn tại n số nguyên dương a_1,a_2,\cdots,a_n đôi một khác nhau sau cho a_i-a_j là ước của a_i+a_j với mọi i,j=1,2,\cdots,n,\,\,i\not =j.

Bài 14.  Chứng minh rằng tồn tại dãy tăng 1<a_1<a_2<a_3<\cdots các số nguyên dương thỏa mãn a_1+a_2+\cdots+a_k là ước của a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2 với mọi số nguyên dương k.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s