Vietnam Team Selection Test 2016


Kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2016 sẽ diễn ra vào hai ngày 24 và 25/3/2016. Tham dự kỳ thi là các thí sinh đạt ít nhất 27,5 điểm trong VMO 2016 và em Trung (HCV IMO 2015).

Hôm nay là 23, ngày mai tôi sẽ post đề thi ở topic này.

Ngày thứ nhất, 24/3/2016

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,n) sao cho a>2 và mỗi ước nguyên tố của a^{n}-1 đều là ước nguyên tố của a^{3^{2016}}-1.

Bài 2. Xét tập A gồm 2000 số nguyên phân biệt và tập B gồm 2016 số nguyên phân biệt. Gọi K là số cặp (m,n)\in A\times B thỏa mãn |m-n|\leq 1000. Tìm giá trị lớn nhất của K.

Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với BC cố định AB\not=ACBC không phải đường kính. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABCD=AI\cap BC, E=BI\cap CA,F=CI\cap AB. Đường tròn đi qua D và tiếp xúc với OA tại A cắt (O) lần thứ hai tại G (G\not =A). Cho GE,GF cắt (O) lần hai tại M,N tương ứng.

a) Gọi H=BM\cap CN. Chứng minh rằng AH đi qua một điểm cố định;

b) Giả sử BE,CF cắt (O) lần hai tại L,K tương ứng và AH\cap KL=P. Trên EF lấy Q sao cho QP=QI. Đường thẳng qua I và vuông góc với QI cắt (IBC) lần hai tại J\, (J\not =I). Chứng minh rằng trung điểm của IJ thuộc một đường tròn cố định.

 

Ngày thứ hai, 25/3/2016

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn có \angle ACB<\angle ABC<\angle ACB+\dfrac{\angle BAC}{2}.  Lấy điểm D thuộc cạnh BC sao cho \angle ADC=\angle ACB+\dfrac{\angle BAC}{2}. Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A cắt BC tại E. Phân giác \angle AEB cắt AD và cắt (ADE) tại GF, DF giao AE tại H.

a) Chứng minh rằng các đường tròn đường kính AE,DF,GH có một điểm chung;

b) Trên phân giác ngoài \angle BAC và trên tia AC lần lượt lấy các điểm KM sao cho KB=KD=KM, trên phân giác ngoài \angle BAC và trên tia AB lần lượt lấy các điểm LN sao cho LC=LD=LN. Đường tròn đi qua M,N và trung điểm I của BC cắt BC tại P (P\neq I). Chứng minh rằng BM,CN,AP đồng quy.

Bài 5.  Cho n số a_1,a_2,\ldots,a_n (n\geq 3) sao cho a_i\in \{0;1\}\,\,\forall i=1,2,\ldots,n. Xét n bộ số

S_1=(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n),S_2=(a_2,a_3,\ldots ,a_n,a_1),\ldots,S_n=(a_n, a_1,\ldots, a_{n-2},a_{n-1}). Với mỗi bộ số r=(b_1,b_2,...,b_n), đặt \omega(r)=b_1.2^{n-1}+b_2.2^{n-2}+...+b_n.2^0. Giả sử các số \omega(S_1); \omega(S_2);...;\omega(S_n) nhận đúng k giá trị khác nhau.

a) Chứng minh rằng n\,\vdots\, k\omega(S_i)\,\vdots\, \dfrac{2^n-1}{2^k-1} \forall i=\overline{1,n};

b) Kí hiệu Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \omega(S_1),\ldots,\omega(S_n). Chứng minh rằng M-m\geq \dfrac{(2^n-1)(2^{k-1}-1)}{2^k-1}.

Bài 6.  Cho các số thực phân biệt \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{16}. Với mỗi đa thức hệ số thực P(x); đặt V(P)=P(\alpha_1)+P(\alpha_2)+\cdots+P(\alpha_{16}).

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đa thức Q(x) bậc 8 có hệ số x^8 bằng 1 thỏa mãn

i) V(QP)=0 với mọi đa thức P có bậc bé hơn 8;

ii) Q(x)8 nghiệm thực (tính cả bội).

1 thought on “Vietnam Team Selection Test 2016”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s