Phương trình hàm-07/03/2016


Bài 1. Cho hàm số f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn điều kiện
f(3x)\geq f(\dfrac{1}{2}f(2x))+2x\,\,\forall x>0. Chứng minh rằng f(x)\geq x\,\,\forall x>0.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:(0;+\infty)\to\ (0;\infty) sao cho
f(f(x))=6x-f(x)\,\,\forall x\in (0;+\infty).
Bài 3. Tìm tất cả các song ánh f:(0;+\infty)\to\ (0;\infty) sao cho
f(f(x))=6x+f(x)\,\,\forall x\in (0;+\infty).
Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f:[1,\infty)\to [1,\infty) sao cho
a) f(x)\leq 2(x+1)\,\,\forall x\geq 1
b) f(x+1)=\dfrac{f^2(x)-1}{x}\,\,\forall x\geq 1.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thoả mãn
f(x^2+y+f(y))=f^2(x)+2y\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 6. Tìm tất cả f:(0;+\infty)\to\mathbb{R} thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) f(x) liên tục trên (0;+\infty);
2) f(x)=f\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)\,\,\forall x\in (0;+\infty).
Bài 7. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho nó liên tục trên \mathbb{R}
f(x+f(y+z))+f(y+f(z+x))+f(z+f(x+y))=0\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}.
Bài 8. Tìm tất cả các số thực a sao cho tồn tại đúng một hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thoả mãn
f(x^2+y+f(y))=f^2(x)+ay\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 9. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f liên tục trên \mathbb{R}f(x)=f\left(\dfrac{3x^2}{4}+\dfrac{1}{3}\right)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Bài 10. Gọi F là tập các hàm f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) thỏa mãn
f(2x)\geq x+f(f(x))\,\,\forall x\in (0;+\infty).
Tìm số thực \alpha lớn nhất sao cho f(x)\geq \alpha x\,\,\forall (f,x)\in F\times (0;+\infty).
Bài 11. Tìm tất cả f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) f toàn ánh;
2) 2xf(f(x))=f(x)(x+f(f(x)))\,\, \forall x\in (0;+\infty).
Bài 12. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập số thực \mathbb R, lấy giá trị trong \mathbb R và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1/. f là toàn ánh từ \mathbb R đến \mathbb R;
2/. f là hàm số tăng trên \mathbb R;
3/. f(f(x))=f(x)+12x với mọi số thực x.
Bài 13. Cho các số thực dương a,b. Tìm tất cả các hàm số f:[0,\infty)\to [0,\infty) sao cho f(f(x))+af(x)=b(a+b)x\forall x\geq 0.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s