T-Math 6


Bài 1. Cho xy là các số thực dương sao cho x+y^{2016}\geq 1. Chứng minh rằng x^{2016}+y> 1-\dfrac{1}{100}.
Bài 2. Cho lục giác lồi A_1B_1A_2B_2A_3B_3 nội tiếp đường tròn \Omega bán kính R. Các đường chéo A_1B_2, A_2B_3, A_3B_1 đồng quy tại X. Với mỗi i=1,2,3 gọi \omega_i là đường tròn tiếp xúc với các đoạn XA_i, XB_i và cung A_iB_i của \Omega không chứa các đỉnh khác của lục giác; gọi r_i là bán kính của \omega_i.
(a) Chứng minh R\geq r_1+r_2+r_3;
(b) Nếu R= r_1+r_2+r_3, chứng minh sáu tiếp điểm của \omega_i với các đường chéo A_1B_2, A_2B_3, A_3B_1 là đồng viên.
Bài 3. Cho một tập n điểm trong không gian sao cho không có 4 điểm nào đồng phẳng. Chia tập này thành hai tập con \mathcal{A},\mathcal{B}. \mathcal{A}\mathcal{B}-cây là một hình gồm n-1 đoạn thẳng, mỗi đoạn có một đầu trong \mathcal{A} và đầu kia trong \mathcal{B}, và không có các đoạn tạo thành một đường gấp khúc khép kín. Một \mathcal{A}\mathcal{B}-cây có thể chuyển thành một \mathcal{A}\mathcal{B}-cây khác theo phép biến đổi sau: Chọn ba đoạn A_1B_1,B_1A_2,A_2B_2 trong \mathcal{A}\mathcal{B}-cây đầu tiên sao cho A_i\in\mathcal{A}A_1B_1+A_2B_2>A_1B_2+A_2B_1, sau đó thay A_1B_1 bởi A_1B_2. Cho một \mathcal{A}\mathcal{B}-cây bất kỳ, chứng minh rằng mỗi dãy các phép biến đổi liên tiếp trên nó đều dừng tại cùng một kết quả sau hữu hạn bước.

Download Tmath6

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s