23/02-Hình học

Bài 1. Gọi là trọng tâm của tam giác vuông với . Cho là điểm trên tia sao cho , và là điểm trên tia sao cho . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại một điểm trên .
Bài 2. Cho tam giác , và cho , , , là các điểm nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó sao cho và . Cho là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác và , tương ứng, hai đường tròn này cắt nhau tại . Nếu tiếp tuyến của tại cắt tại , và chân đường cao hạ từ đến là , chứng minh .
Bài 3. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn . Điểm trên cạnh sao cho , và điểm trên cạnh sao cho . Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với qua tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Bài 4. Cho là tứ giác nội tiếp trong đường tròn , các đường chéo cắt nhau tại . Các đường thẳng và cắt nhau tại . Đoạn giao tại . Các đường thẳng và cắt nhau tại , các đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh rằng và đồng quy với tiếp tuyến của tại .
Bài 5. Cho là một tứ giác nội tiếp đường tròn . Các đường thẳng và cắt nhau tại , các đường thẳng và cắt nhau tại , và các đường chéo và cắt nhau tại . Gọi là trung điểm của đoạn , và là điểm chung của đoạn và . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác và tiếp xúc nhau.
Bài 6. Cho tam giác nội tiếp đường tròn , và các trung tuyến qua và cắt tại và tương ứng. Gọi là tâm của đường tròn qua tiếp xúc với tại , và cho là tâm của đường tròn qua tiếp xúc với tại . Chứng minh , , và tâm đường tròn điểm của tam giác thẳng hàng.