23/02-Hình học


Bài 1. Gọi G là trọng tâm của tam giác vuông ABC với \angle BCA = 90^\circ. Cho P là điểm trên tia AG sao cho \angle CPA = \angle CAB, và Q là điểm trên tia BG sao cho \angle CQB = \angle ABC. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AQGBPG cắt nhau tại một điểm trên AB.
Bài 2. Cho tam giác ABC, và cho D, A, B, E là các điểm nằm trên đường thẳng AB theo thứ tự đó sao cho AC=ADBE=BC. Cho \omega_1, \omega_2 là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \triangle ABC\triangle CDE, tương ứng, hai đường tròn này cắt nhau tại F \neq C. Nếu tiếp tuyến của \omega_2 tại F cắt \omega_1 tại G, và chân đường cao hạ từ G đến FCH, chứng minh \angle AGH=\angle BGH.
Bài 3. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Điểm P trên cạnh AB sao cho \angle BOP = \angle ABC, và điểm Q trên cạnh AC sao cho \angle COQ = \angle ACB. Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với BC qua PQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ.
Bài 4. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn \omega, các đường chéo cắt nhau tại F. Các đường thẳng ABCD cắt nhau tại E. Đoạn EF giao \omega tại X. Các đường thẳng BXCD cắt nhau tại M, các đường thẳng CXAB cắt nhau tại N. Chứng minh rằng MNBC đồng quy với tiếp tuyến của \omega tại X.
Bài 5. Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn \omega. Các đường thẳng ABCD cắt nhau tại P, các đường thẳng ADBC cắt nhau tại Q, và các đường chéo ACBD cắt nhau tại R. Gọi M là trung điểm của đoạn PQ, và K là điểm chung của đoạn MR\omega. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác KPQ\omega tiếp xúc nhau.
Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn \omega, và các trung tuyến qua BC cắt \omega tại DE tương ứng. Gọi O_1 là tâm của đường tròn qua D tiếp xúc với AC tại C, và cho O_2 là tâm của đường tròn qua E tiếp xúc với AB tại B. Chứng minh O_1, O_2, và tâm đường tròn 9 điểm của tam giác ABC thẳng hàng.

2 thoughts on “23/02-Hình học”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s