VMO training 2016 – Part 3


Sau post này mình tạm nghỉ, thi TST xong mình lại tiếp tục chia sẻ nhé các bạn.🙂

Bài 18. Cho số nguyên tố p>5. Với mỗi số nguyên x ta định nghĩa
f_p(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{(px+k)^2}. Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên dương x,y, khi viết f_p(x)-f_p(y) dưới dạng phân số tối giản thì tử số của nó chia hết cho p^3.
Bài 19. Cho số nguyên dương n và các số nguyên dương a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n thỏa mãn
a_1+a_2+\cdots+a_n=2n,\,\,\, a_n\not =n+1.
a) Chứng minh rằng nếu n chẵn thì tồn tại tập con khác rỗng K của \{1,2,\cdots,n\} sao cho \displaystyle\sum_{i\in K}a_i=n;
b) Chứng minh rằng nếu n lẻ và a_n\not=2 thì kết luận trên vẫn đúng.
Bài 20. Với mỗi số nguyên dương n, xác định tập S_n như sau
S_n = \left \{C_n^n,C_{2n}^n, C_{3n}^n,\cdots,C_{n^2}^n \right \}.
a) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số n sao cho S_n không phải là hệ thặng dư đầy đủ modulo n;
b) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số n sao cho S_n là hệ thặng dư đầy đủ modulo n.
Bài 21. Cho số nguyên dương lẻ n>3. Chứng minh rằng với mỗi x\in [n], ta có thể chia tập [n]\setminus \{x\} thành hai nhóm bằng nhau sao cho tổng các phần tử ở hai nhóm là đồng dư với nhau theo modulo n.
Bài 22. Cho dãy số (v_n)_{n\geq 0} xác định bởi v_0 = 0, v_1 = 1
v_{n+1} = 8 \cdot v_n - v_{n-1},\,\,\forall n = 1,2, ...
Chứng minh rằng dãy trên không chứa các số hạng có dạng 3^{\alpha} \cdot 5^{\beta}\,\,(\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*).
Bài 23. Cho nq là các số nguyên thỏa mãn n \geq 5, 2 \leq q \leq n. Chứng minh rằng q-1 là ước của \left[\dfrac{(n-1)!}{q}\right] .
Bài 24. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương s, tồn tại số nguyên dương n sao cho tổng các chữ số của n bằng ss|n.
Bài 25. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n>1, tồn tại đa thức với hệ số nguyên có bậc bé hơn n sao cho giá trị của nó tại 1,2,\cdots,n là các lũy thừa đôi một khác nhau của 2.

Bài 26. Tìm tất cả các số nguyên dương n>1 sao cho tồn tại duy nhất số nguyên a thỏa mãn 0<a\leq n!n!|a^n+1.
Bài 27. Cho n>1\,\, (n\in\mathbb{Z})P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 là một đa thức với hệ số nguyên, a_n>0. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương m sao cho P(m!) là hợp số.
Bài 28. Chứng minh rằng hệ \begin{cases}x^6+x^3+x^3y+y= 147^{157}\\ x^3+x^3y+y^2+y+z^9= 157^{147}\end{cases} không có nghiệm nguyên.
Bài 29. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,p) sao cho p là số nguyên tố, x\leq 2px^{p-1} là một ước của (p-1)^x+1.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s