Toàn ánh


Bài 1. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f\left(f(x)+y\right)=2x+f\left(f(y)-x\right)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 2. Tìm tất cả các toàn ánh f:(0,+\infty) \to (0,+\infty) sao cho 2x f(f(x)) = f(x)(x+f(f(x))) với mỗi x>0.
Bài 3. Cho hàm số f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{Z} xác định bởi f(x)=[x{\cdot }\{ x\}]\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
1) Chứng minh f là toàn ánh;
2) Tìm nghiệm của phương trình [ x[x] ]=[x{\cdot }\{ x\}].
Bài 4. Tìm tất cả các toàn ánh f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho với mỗi số nguyên dương ab, đúng một trong hai đẳng thức sau là đúng
f(a)=f(b),\,\, f(a+b)=\min\{f(a),f(b)\}. Continue reading “Toàn ánh”

T-Math 5


Bài 1. Cho tam giác ABCD là một điểm nằm trên cạnh BC (D\not=B,D\not=C). Đường tròn (ABD) cắt đoạn AC lần hai tại E. Đường tròn (ACD) cắt đoạn AB lần hai tại F. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua BC. Giả sử P=DE\cap A'CQ=DF\cap A'B. Chứng minh rằng các đường thẳng AD,BPCQ đồng quy hoặc đôi một song song.
Bài 2. Cho các số nguyên dương mn (n\geq m). Xác định số domino lớn nhất có thể đặt vào bảng m\times 2n sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
i) Mỗi domino phủ đúng 2 ô vuông con kề nhau;
ii) Hai domino bất kỳ không chờm lên nhau;
iii) Không có 2 domino nào tạo thành một hình vuông 2\times 2;
iv) Dòng trên cùng của bảng được phủ hoàn toàn bởi n domino. Continue reading “T-Math 5”

23/02-Hình học


Bài 1. Gọi G là trọng tâm của tam giác vuông ABC với \angle BCA = 90^\circ. Cho P là điểm trên tia AG sao cho \angle CPA = \angle CAB, và Q là điểm trên tia BG sao cho \angle CQB = \angle ABC. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AQGBPG cắt nhau tại một điểm trên AB.
Bài 2. Cho tam giác ABC, và cho D, A, B, E là các điểm nằm trên đường thẳng AB theo thứ tự đó sao cho AC=ADBE=BC. Cho \omega_1, \omega_2 là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \triangle ABC\triangle CDE, tương ứng, hai đường tròn này cắt nhau tại F \neq C. Nếu tiếp tuyến của \omega_2 tại F cắt \omega_1 tại G, và chân đường cao hạ từ G đến FCH, chứng minh \angle AGH=\angle BGH.
Bài 3. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Điểm P trên cạnh AB sao cho \angle BOP = \angle ABC, và điểm Q trên cạnh AC sao cho \angle COQ = \angle ACB. Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với BC qua PQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ.
Bài 4. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn \omega, các đường chéo cắt nhau tại F. Các đường thẳng ABCD cắt nhau tại E. Đoạn EF giao \omega tại X. Các đường thẳng BXCD cắt nhau tại M, các đường thẳng CXAB cắt nhau tại N. Chứng minh rằng MNBC đồng quy với tiếp tuyến của \omega tại X. Continue reading “23/02-Hình học”

22/02-Dãy số


Bài 1. Cho tập F gồm tất cả các hàm f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
f(3x)\geq f(f(2x))+x\,\,\forall x>0. Tìm a lớn nhất để f(x)\geq ax\,\,\forall f\in F\,\,\forall x>0.
Bài 2. Với mỗi cặp số thực (a;b) xét dãy số (x_n) cho bởi x_0=a
x_{n+1}=x_n+b\sin x_n\,\,\forall n\geq 0.
1/. Khi b=1. Chứng minh rằng với mỗi số thực a, dãy trên hội tụ. Tính giới hạn của nó;
2/. Chứng minh rằng với mỗi b>2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy (x_n) tương ứng không có giới hạn hữu hạn.
Bài 3. Cho số thực dương c. Dãy số (x_n) xác định bởi x_0\in (0;c)x_{n+1}=\sqrt{c-\sqrt{c+x_n}}\,\,\forall n\geq 0.
Tìm tất cả c để với mọi x_0 ta có dãy trên và đồng thời nó hội tụ.
Bài 4. Cho a\in (0;1). Xét dãy số (x_n) cho bởi x_0=a
x_{n+1}=\dfrac{4}{\pi^2}\left(\arccos x_n+\dfrac{\pi}{2}\right)\arcsin x_n\,\,\forall n\geq 0. Chứng minh rằng dãy này hội tụ. Tìm giới hạn của nó. Continue reading “22/02-Dãy số”

Luyện tập Hình học-17/02/2016


Bài 1. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn \omega. Một đường tròn với dây BC cắt các đoạn ABAC tại các điểm thứ hai SR, tương ứng. Các đoạn BRCS cắt nhau tại L, và các tia LRLS cắt \omega tại DE, tương ứng. Phân giác trong của \angle BDE cắt ER tại K. Chứng minh rằng nếu BE = BR thì \angle ELK = \tfrac{1}{2} \angle BCD.
Bài 2. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh ABAC tại DE tương ứng, và O tâm của (BCI). Chứng minh \angle ODB = \angle OEC.
Bài 3. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, và D,E,F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC, AC, AB tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \triangle AEF, \triangle BFD, và \triangle CDE cắt \Gamma tại các điểm thứ hai X,Y,Z tương ứng. Chứng minh các đường thẳng qua A,B,C vuông góc với AX,BY,CZ tương ứng đồng quy. Continue reading “Luyện tập Hình học-17/02/2016”

Các trường hợp đặc biệt của định lý Dirichlet về cấp số cộng


Ta biết là có định lý sau đây

Định lý Dirichlet. Cho hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau ad. Khi đó có vô hạn các số nguyên tố có dạng a+dk (k là số tự nhiên.)

Trong topic này tôi giới thiệu một bài viết có chứng minh của các trường hợp đặc biệt của định lý trên:

a=1,d=4;a=1,d=6;a=1,d=8a=1, d bất kỳ. Continue reading “Các trường hợp đặc biệt của định lý Dirichlet về cấp số cộng”

Ước nguyên tố của đa thức


Ta nói số nguyên tố p là một ước nguyên tố của đa thức f(x)\in\mathbb{Z}[x] nếu tồn tại số nguyên n sao cho p|f(n). Với mỗi đa thức f(x)\in\mathbb{Z}[x], ta ký hiệu tập các ước nguyên tố của nó là P(f). Continue reading “Ước nguyên tố của đa thức”

VMO training 2016 – Part 3


Sau post này mình tạm nghỉ, thi TST xong mình lại tiếp tục chia sẻ nhé các bạn. 🙂

Bài 18. Cho số nguyên tố p>5. Với mỗi số nguyên x ta định nghĩa
f_p(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{(px+k)^2}. Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên dương x,y, khi viết f_p(x)-f_p(y) dưới dạng phân số tối giản thì tử số của nó chia hết cho p^3.
Bài 19. Cho số nguyên dương n và các số nguyên dương a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n thỏa mãn
a_1+a_2+\cdots+a_n=2n,\,\,\, a_n\not =n+1.
a) Chứng minh rằng nếu n chẵn thì tồn tại tập con khác rỗng K của \{1,2,\cdots,n\} sao cho \displaystyle\sum_{i\in K}a_i=n;
b) Chứng minh rằng nếu n lẻ và a_n\not=2 thì kết luận trên vẫn đúng.
Bài 20. Với mỗi số nguyên dương n, xác định tập S_n như sau
S_n = \left \{C_n^n,C_{2n}^n, C_{3n}^n,\cdots,C_{n^2}^n \right \}.
a) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số n sao cho S_n không phải là hệ thặng dư đầy đủ modulo n;
b) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số n sao cho S_n là hệ thặng dư đầy đủ modulo n.
Bài 21. Cho số nguyên dương lẻ n>3. Chứng minh rằng với mỗi x\in [n], ta có thể chia tập [n]\setminus \{x\} thành hai nhóm bằng nhau sao cho tổng các phần tử ở hai nhóm là đồng dư với nhau theo modulo n.
Bài 22. Cho dãy số (v_n)_{n\geq 0} xác định bởi v_0 = 0, v_1 = 1
v_{n+1} = 8 \cdot v_n - v_{n-1},\,\,\forall n = 1,2, ...
Chứng minh rằng dãy trên không chứa các số hạng có dạng 3^{\alpha} \cdot 5^{\beta}\,\,(\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*).
Bài 23. Cho nq là các số nguyên thỏa mãn n \geq 5, 2 \leq q \leq n. Chứng minh rằng q-1 là ước của \left[\dfrac{(n-1)!}{q}\right] .
Bài 24. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương s, tồn tại số nguyên dương n sao cho tổng các chữ số của n bằng ss|n.
Bài 25. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n>1, tồn tại đa thức với hệ số nguyên có bậc bé hơn n sao cho giá trị của nó tại 1,2,\cdots,n là các lũy thừa đôi một khác nhau của 2. Continue reading “VMO training 2016 – Part 3”