25/01/2016-Bất đẳng thức


Bài 1. Cho các số thực dương a,b,c và $d$ thỏa mãn a+b+c+d=1. Chứng minh rằng
6(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq a^2+b^2+c^2+d^2+\dfrac{1}{8}.
Bài 2. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8.

Bài 3. Cho các số thực a,bc thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\leq\frac{9}{10}.
Bài 4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2.
Bài 5. Cho các số thực không âm a,bc thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1.
Bài 6. Cho a,bc là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right).
Bài 7. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{(c+a-b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{(a+b-c)^2}{c^2+(a+b)^2}\geq \frac{3}{5}. Continue reading “25/01/2016-Bất đẳng thức”