VMO training 2016 – Part 2


Bài 10. Chứng minh rằng tồn tại 2015 số nguyên dương liên tiếp sao cho trong chúng có đúng 14 số nguyên tố.
Bài 11. Với số nguyên dương chẵn n ta đặt các số 1,2,...,n^2 vào các ô của bàn cờ cỡ n\times n (mỗi số xuất hiện đúng một lần trên bàn). Gọi S_1 là tổng các số trên các ô đen và S_2 là tổng các số trên các ô trắng. Tìm tất cả n sao cho ta có thể có \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{39}{64}.
Bài 12. Cho số nguyên tố lẻ p. Một bộ (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p) các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) 0\le a_i\le p-1 với mỗi i;
(2) a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p không chia hết cho p;
(3) a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1 chia hết cho p.
Tìm số các bộ tốt.
Bài 13. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{x/y\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh rằng |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 14. Cho n>1 là một số nguyên dương và T_n là số các tập con khác rỗng của tập \{1,2,\cdots,n\} sao cho trung bình cộng tất cả các phần tử của nó là một số nguyên. Chứng minh rằng T_n-n là một số chẵn.
Bài 15. Tìm số đa thức f(x)=ax^3+bx thỏa mãn cả hai điều kiện:
(i) a,b\in\{1,2,\ldots,2013\};
(ii) \{f(1),f(2),\ldots,f(2013)\} là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 2013.
Bài 16. Cho các số nguyên dương a,b,cd. Trên mặt phẳng xét a+b+c+d điểm sao cho không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại hai đường thẳng l_1, l_2 sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) l_1l_2 không song song;
(2) l_1, l_2 không đi qua điểm nào trong a+b+c+d điểm đã cho;
(3) Có a, b, c, d điểm trên mỗi miền chia bởi l_1, l_2 .
Bài 17. Cho m,n là các số nguyên lớn hơn 1S là một tập có n phần tử. Giả sử có các tập con A_1,A_2,\cdots,A_m của S thoả mãn: Với mỗi hai phần tử x,y\in S, có tập A_i sao cho x\in A_i,y\not\in A_i hoặc x\not\in A_i,y\in A_i. Chứng minh rằng n\leq 2^m.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s