VMO training 2016 – Part 1


Trong topic này và các topic sau, tôi sẽ giới thiệu một số bài toán được dùng cho đợt luyện VMO vừa rồi.

Bài 1. Cho số nguyên tố p và số nguyên dương n thỏa mãn n\geq p. Chứng minh rằng C_n^p-\left[\dfrac{n}{p}\right] chia hết cho p.

Bài 2. Xét hai số nguyên dương m,n>1 thỏa mãn \gcd (m,n)=1, n lẻ, m chẵn. Chứng minh rằng tổng \displaystyle \frac{1}{2n}+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{\left[\frac{mk}{n}\right]}\left\{\frac{mk}{n}\right\} không phụ thuộc vào mn.

Bài 3. Cho số nguyên dương n2n số thực
x_1,x_2,\cdots,x_n;\,\,\,y_1,y_2,\cdots,y_n thỏa mãn
x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n;\,\,y_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n;\,\,\,\sum_{i=1}^n ix_i=\sum_{i=1}^niy_i. Chứng minh rằng với mỗi số thực \alpha ta có \displaystyle \sum_{i=1}^n [i\alpha]x_i\geq\sum_{i=1}^n[i\alpha]y_i.

Bài 4. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số nguyên dương thỏa mãn
\displaystyle\left[\frac{a^2}{b}\right]+\left[\frac{b^2}{a}\right]=\left[\frac{a^2+b^2}{ab}\right]+ab.

Bài 5. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số thực thỏa mãn
a[bn]=b[an]\,\,\forall n\in\mathbb{N}.

Bài 6. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho
ab^2+b+7|a^2b+a+b.

Bài 7. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho nếu gọi qr lần lượt là thương và dư trong phép chia a^2+b^2 cho a+b thì q^2+r=1977.

Bài 8. Cho số thực dương x và số nguyên dương n. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=1}^n\left(x\left[\frac{k}{x}\right]-(x+1)\left[\frac{k}{x+1}\right]\right)\leq n.

Bài 9. Cho số nguyên tố p. Giả sử a_1,a_2 \cdots a_k (k \geq 3) là các số nguyên không chia hết cho p và có các số dư khác nhau khi chia cho p. Đặt \displaystyle S= \{ n\in\mathbb{Z} \mid 1 \leq n \leq p-1, (na_1)_p < \cdots < (na_k)_p \}, ở đây (b)_p là dư khi chia số nguyên b cho p. Chứng minh rằng |S|< \dfrac{2p}{k+1}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s