VMO training 2016 – Part 1


Trong topic này và các topic sau, tôi sẽ giới thiệu một số bài toán được dùng cho đợt luyện VMO vừa rồi.

Bài 1. Cho số nguyên tố p và số nguyên dương n thỏa mãn n\geq p. Chứng minh rằng C_n^p-\left[\dfrac{n}{p}\right] chia hết cho p.

Bài 2. Xét hai số nguyên dương m,n>1 thỏa mãn \gcd (m,n)=1, n lẻ, m chẵn. Chứng minh rằng tổng \displaystyle \frac{1}{2n}+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{\left[\frac{mk}{n}\right]}\left\{\frac{mk}{n}\right\} không phụ thuộc vào mn.

Bài 3. Cho số nguyên dương n2n số thực
x_1,x_2,\cdots,x_n;\,\,\,y_1,y_2,\cdots,y_n thỏa mãn
x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n;\,\,y_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n;\,\,\,\sum_{i=1}^n ix_i=\sum_{i=1}^niy_i. Chứng minh rằng với mỗi số thực \alpha ta có \displaystyle \sum_{i=1}^n [i\alpha]x_i\geq\sum_{i=1}^n[i\alpha]y_i.

Continue reading “VMO training 2016 – Part 1”