Kì thi chọn HSG Quốc gia THPT năm 2016 – Môn Toán (VMO 2016)


8:45 AM, 06/01/2016: Trong lúc học sinh thi thì mình ngồi lập topic này, đề sẽ có ở đây lúc chiều nay.🙂

 

Ngày thi thứ nhất – 06/01/2016
Bài 1. Giải hệ phương trình \begin{cases}6x-y+z^2=3\\ x^2-y^2-2z=-1\quad\quad (x,y,z\in\mathbb{R}.)\\ 6x^2-3y^2-y-2z^2=0\end{cases}
Bài 2. a) Cho dãy số (a_n) xác định bởi a_n=\ln (2n^2+1)-\ln (n^2+n+1)\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn số n sao cho \{a_n\}<\dfrac{1}{2};
b) Cho dãy số (b_n) xác định bởi b_n=\ln (2n^2+1)+\ln (n^2+n+1)\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số n sao cho \{b_n\}<\dfrac{1}{2016}.
Bài 3. Cho tam giác ABCB,C cố định và A di chuyển sao cho nó là tam giác nhọn. Gọi D là trung điểm của BCE,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB,AC.
a) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. EF cắt AO,BC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua một điểm cố định;
b) Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại E,F cắt nhau tại T. Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 4. Cho hai số nguyên dương mn. Người ta trồng hai loại cây khác nhau trên một miếng đất dạng bảng ô vuông cỡ m\times n (mỗi ô vuông con trồng 1 cây.) Một cách trồng cây được gọi là ấn tượng nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
i) Số cây được trồng ở mỗi loại bằng nhau;
ii) Số lượng chênh lệch của hai loại cây trên mỗi hàng không nhỏ hơn một nửa số ô của hàng đó và số lượng chênh lệch của hai loại cây trên mỗi cột không nhỏ hơn một nửa số ô của cột đó.
a) Hãy chỉ ra một cách trồng cây ấn tượng khi m=n=2016.
b) Chứng minh rằng nếu có một cách trồng cây ấn tượng thì cả mn chia hết cho 4.

 

Ngày thi thứ hai – 07/01/2016

Bài 5. Tìm tất cả các số thực a để tồn tại hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
i) f(1)=2006;
ii) f(x+y+f(y))=f(x)+ay\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (có tâm O) có các góc ở đỉnh B,C nhọn. Lấy điểm M trên cung BC không chứa A sao cho AM không vuông góc với BC. AM cắt trung trực của BC tại T. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOT cắt (O) tại N (N\not =A).
a) Chứng minh \widehat{BAM}=\widehat{CAN}.
b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và G là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC. AI,MI,NI cắt (O) lần lượt tại D,E,F. Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của DF với AMDE với AN. Đường tròn đi qua P và tiếp xúc với AD tại I cắt DF tại H (H\not=D), đường tròn đi qua Q và tiếp xúc với AD tại I cắt DE tại K (K\not=D). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác GHK tiếp xúc với BC.
Bài 7. Số nguyên dương n được gọi là số hoàn chỉnh nếu tổng các ước dương của n bằng 2n.
a) Chứng minh rằng nếu n là số hoàn chỉnh lẻ thì n có dạng n=p^sm^2, ở đây p là số nguyên tố có dạng 4k+1, s là số nguyên dương có dạng 4h+1, và m là số nguyên dương không chia hết cho p.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n lớn hơn 1 sao cho n-1\dfrac{n(n+1)}{2} là các số hoàn chỉnh.

3 thoughts on “Kì thi chọn HSG Quốc gia THPT năm 2016 – Môn Toán (VMO 2016)”

  1. Bài 2a. Vì dãy (a_n) có giới hạn bằng \ln 2 nên kể từ lúc nào đó trở đi, các số hạng của dãy thuộc (0;1), suy ra tồn tại số nguyên dương k sao cho \{a_n\}=a_n\,\,\forall n>k. Đến đây là đơn giản rồi.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s