Một bài mở đầu về Hình học giải tích phẳng

Bài toán. Cho hai điểm và .
1) Chứng minh rằng không thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh của ;
2) Viết phương trình đường thẳng qua và song song với ;
3) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao qua của tam giác ;
4) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng ;
5) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với qua .

Lời giải.
1) Ta có và . Giả sử ngược lại rằng ba điểm và thẳng hàng, khi đó ta có hai vectơ và là hai vectơ cùng phương, suy ra tồn tại số thực sao cho (vì ). Từ ta có , vô lý. Vậy ba điểm và không thẳng hàng.
Đường thẳng chứa cạnh của tam giác đi qua và có một vectơ chỉ phương là nên phương trình của nó là , hay .
2) Gọi là đường thẳng đi qua và song song với .
Vì song song với nên là một vectơ chỉ phương của , mà đi qua suy ra có phương trình là , hay
3) Gọi là đường thẳng chứa đường cao qua của tam giác . Ta có và , suy ra đi qua và có một vectơ pháp tuyến là , bởi vậy nên có phương trình , hay .
4) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng . Vì là giao điểm của và nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ , hệ này có nghiệm , do đó .
5) Vì đối xứng với qua nên là đường trung trực của , do đó là trung điểm của , suy ra , vậy .