Một bài mở đầu về Hình học giải tích phẳng


Bài toán. Cho hai điểm A(1;0)B(2;3).
1) Chứng minh rằng O,A,B không thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB của OAB;
2) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với OB;
3) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao qua O của tam giác OAB;
4) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng AB;
5) Tìm tọa độ của điểm O' đối xứng với O qua AB.

Lời giải.
1) Ta có \overrightarrow{OA}=(1;0)\overrightarrow{OB}=(2;3). Giả sử ngược lại rằng ba điểm O,A,B thẳng hàng, khi đó ta có hai vectơ \overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} là hai vectơ cùng phương, suy ra tồn tại số thực k sao cho \overrightarrow{OA}=k\overrightarrow{OB}\,\, (1) (vì \overrightarrow{OB}\not=\overrightarrow{0}). Từ (1) ta có \begin{cases}1=2k\\0=3k\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}k=\dfrac{1}{2}\\k=0\end{cases}, vô lý. Vậy ba điểm O,A,B không thẳng hàng.
Đường thẳng chứa cạnh AB của tam giác OAB đi qua A(1;0) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{AB}=(1;3) nên phương trình của nó là \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-0}{3}, hay 3x-y-3=0.
2) Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với OB.
d song song với OB nên \overrightarrow{OB}=(2;3) là một vectơ chỉ phương của d, mà d đi qua A(1;0) suy ra d có phương trình là \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-0}{3}, hay 3x-2y-3=0.
3) Gọi d_1 là đường thẳng chứa đường cao qua O của tam giác OAB. Ta có O(0;0)\in d_1d\bot AB, suy ra d_1 đi qua O(0;0) và có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{AB}=(1;3), bởi vậy nên d_1 có phương trình 1(x-0)+3(y-0)=0, hay x+3y=0.
4) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng AB. Vì H là giao điểm của d_1AB nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ \begin{cases}x+3y=0\\ 3x-y-3=0\end{cases}, hệ này có nghiệm \begin{cases}x=\dfrac{9}{10}\\ y=-\dfrac{3}{10}\end{cases}, do đó H=\left(\dfrac{9}{10};-\dfrac{3}{10}\right).
5) Vì O' đối xứng với O qua AB nên AB là đường trung trực của OO', do đó H là trung điểm của OO', suy ra \begin{cases}x_{O'}=2x_H-x_O=\dfrac{9}{5}\\ y_{O'}=2y_H-y_O=-\dfrac{3}{5}\end{cases}, vậy O'=\left(\dfrac{9}{5};-\dfrac{3}{5}\right).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s