Bài toán. Cho hai điểm và
.
1) Chứng minh rằng không thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh
của
;
2) Viết phương trình đường thẳng qua và song song với
;
3) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao qua của tam giác
;
4) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng
;
5) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với
qua
.
Lời giải.
1) Ta có và
. Giả sử ngược lại rằng ba điểm
và
thẳng hàng, khi đó ta có hai vectơ
và
là hai vectơ cùng phương, suy ra tồn tại số thực
sao cho
(vì
). Từ
ta có
, vô lý. Vậy ba điểm
và
không thẳng hàng.
Đường thẳng chứa cạnh của tam giác
đi qua
và có một vectơ chỉ phương là
nên phương trình của nó là
, hay
.
2) Gọi là đường thẳng đi qua
và song song với
.
Vì song song với
nên
là một vectơ chỉ phương của
, mà
đi qua
suy ra
có phương trình là
, hay
3) Gọi là đường thẳng chứa đường cao qua
của tam giác
. Ta có
và
, suy ra
đi qua
và có một vectơ pháp tuyến là
, bởi vậy nên
có phương trình
, hay
.
4) Gọi là hình chiếu vuông góc của
trên đường thẳng
. Vì
là giao điểm của
và
nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ
, hệ này có nghiệm
, do đó
.
5) Vì đối xứng với
qua
nên
là đường trung trực của
, do đó
là trung điểm của
, suy ra
, vậy
.