Hướng dẫn nội dung bồi dưỡng học sinh thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia lớp 12 THPT


Thấy nhiều bạn hỏi nên tôi upload tài liệu này.

Continue reading “Hướng dẫn nội dung bồi dưỡng học sinh thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia lớp 12 THPT”

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)


Bài 1. (A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD; H là giao điểm của CN,DM. Biết SH vuông góc với (ABCD)SH=a\sqrt{3}. Tính thể tích S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DMSC theo a.
Đáp số: \dfrac{5\sqrt{3}a^3}{24}, \dfrac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}.
Bài 2. (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2}. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM,B'C.
Đáp số: \dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3,\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.
Bài 3. (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN,AC.
Đáp số: \dfrac{a\sqrt{2}}{4}.

Continue reading “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)”

Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên và Học sinh 2016


Hội Toán học Việt Nam phối hợp với Trường Đại học Quy Nhơn tổ chức kỳ thi Olympic Toán học dành cho Sinh viên và Học sinh Trung học Phổ thông chuyên nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, thúc đẩy niềm say mê toán học trong học sinh, phát hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Kỳ thi cũng là một cơ hội giao lưu cho các học sinh giỏi toán với các sinh viên yêu toán và các giảng viên toán tại các trường đại học, cao đẳng và học viện. Continue reading “Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên và Học sinh 2016”

T-Math 4


Bài 1. Xét ba số thực không âm a,bc thỏa mãn điều kiện a+b+c=2. Chứng minh rằng
\sqrt{a+b-2ab}+\sqrt{b+c-2bc}+\sqrt{c+a-2ca}\geq 2.
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với AB>AC. Gọi M là trung điểm của BCP là một điểm nằm trong tam giác AMC sao cho \angle MAB=\angle PAC. Gọi O,O_1,O_2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC,ABP,ACP. Chứng minh rằng AO đi qua trung điểm của O_1O_2. Continue reading “T-Math 4”

T-Math 3


Đề trước có ở https://nttuan.org/2015/12/10/topic-723/

Bài 1. Cho số nguyên tố lẻ p. Một bộ (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p) các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) 0\le a_i\le p-1 với mỗi i;
(2) a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p không chia hết cho p;
(3) a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1 chia hết cho p.

Tính số bộ tốt.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với BC tại A'. Đoạn AA' cắt lại đường tròn nội tiếp tam giác tại P. Các đoạn BP,CP cắt lại đường tròn nội tiếp tại M,N tương ứng. Chứng minh rằng ba đường thẳng AA',BN,CM đồng quy.
Bài 3. Cho các số nguyên dương a,b,cd. Trên mặt phẳng xét a+b+c+d điểm sao cho không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại hai đường thẳng l_1, l_2 sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) l_1l_2 không song song;
(2) l_1, l_2 không đi qua điểm nào trong a+b+c+d điểm đã cho;
(3) Có a, b, c, d điểm trên mỗi miền chia bởi l_1, l_2 .

Continue reading “T-Math 3”

Tam giác đồng dạng (3)


Bài 1. Một điểm E lấy trên cạnh AC của \Delta ABC. Qua E vẽ DE||BC,EF||AB với D\in AB,F\in BC. Chứng minh rằng S_{BDEF}=2\sqrt{S_{ADE}.S_{EFC}}.
Bài 2. Cho hình thang ABCD\,\,\, (BC||AD). Lấy M trên đoạn AB, N trên đoạn CD sao cho MN song song với đáy và chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính MN theo a=BC,b=AD.
Bài 3. Cho Q là một điểm nằm trong tam giác ABC. Qua Q vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác, các đường thẳng này chia tam giác ABC thành 6 phần, 3 phần trong chúng là các tam giác có diện tích S_1,S_2,S_3. Chứng minh rằng
S_{ABC}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2.
Bài 4. Cho một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng diện tích của tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các trung tuyến của tam giác đã cho bằng \dfrac{3}{4}S.
Bài 5.
a) Chứng minh rằng diện tích của tứ giác hình thành bởi 4 trung điểm của các cạnh của tứ giác lồi ABCD bằng một nửa S_{ABCD};
b) Chứng minh rằng nếu các đường chéo của một tứ giác lồi bằng nhau, thì diện tích của nó bằng tích của các độ dài của các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện. Continue reading “Tam giác đồng dạng (3)”

Bài tập Phương trình hàm


Bài 1. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}(f(x))^2\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 2. Tìm tất cả f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ thỏa mãn
f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)), \ \ \ \forall x,y\in \mathbb{R}^+.
Ở đây \mathbb{R}^+ là tập tất cả các số thực dương.
Bài 3. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} sao cho
f(x - y + f(y) ) = f(x) + f(y)\,\,\forall x,y\in\mathbb{Z}.
Bài 4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f( xf(y) + f(x) ) = f( yf(x) ) +x\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f(xf(y)) + f(yf(x)) = 2xy\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}. Continue reading “Bài tập Phương trình hàm”

Tam giác đồng dạng (2)


Các em xem lại phần đầu ở https://nttuan.org/2015/11/22/topic-710/
Bài 9. Tam giác ABC3\widehat{A}+2\widehat{B}=180^{\circ}. Chứng minh rằng a^2+bc=c^2.
Bài 10. P là một điểm bất kì trên cạnh AC của tam giác ABC. Qua P vẽ các đường thẳng song song với các trung tuyến AK,CL. Các đường thẳng cắt BC,AB tại E,F tương ứng. Chứng minh rằng AK,CL chia EF thành ba phần bằng nhau.
Bài 11. P là một điểm bất kì nằm trên phân giác của một góc cho trước. Một đường thẳng di động qua P cắt các cạnh của góc theo các đoạn a,b. Chứng minh rằng \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} là hằng số.
Bài 12. Về phía ngoài tam giác đều ABC dựng nửa đường tròn đường kính BC. Các điểm K,L chia nửa đường tròn thành ba phần bằng nhau. Chứng minh rằng AK,AL chia BC thành ba phần bằng nhau.
Bài 13. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Trên các cạnh AC,BC lấy M,K tương ứng sao cho BK.AB=AI^2AM.AB=AI^2. Chứng minh rằng M,I,K thẳng hàng. Continue reading “Tam giác đồng dạng (2)”