Một chứng minh của định lý Cauchy – Davenport


Định lý. (Cauchy – Davenport) Cho số nguyên tố p và hai tập khác rỗng các số nguyên A,B. Với mỗi tập X các số nguyên, ký hiệu (X)_p là tập tất cả các số tự nhiên r<p sao cho tồn tại x\in X thỏa mãn x\equiv r\pmod{p}. Khi đó ta có |(A+B)_p|\geq\min (p,|(A)_p|+|(B)_p|-1).

Continue reading “Một chứng minh của định lý Cauchy – Davenport”

T-Math 1


Bài 1. Cho dãy số (x_n)_{n\geq 1} xác định bởi
x_1=x_2=1,\,\, x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3}\,\,\forall n\geq 2. Chứng minh x_n<\dfrac{25}{4}\,\,\forall n\geq 1.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho có một hoán vị (p_1,p_2,...,p_n) của \{1,2,...,n\} để \{p_1 +1, p_2 + 2,..., p_n +n\}\{p_1-1, p_2-2,...,p_n -n\} là các hệ thặng dư đầy đủ modulo n.
Bài 3. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{\dfrac{x}{y}\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O_1,O_2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC,ABD tương ứng. Đường thẳng O_1O_2 cắt các đoạn thẳng BC,AD tại E,F tương ứng.
a) Chứng minh có đường tròn \Gamma tiếp xúc với các đường thẳng BC,AD tại E,F tương ứng;
b) Chứng minh \Gamma cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Continue reading “T-Math 1”

Tam giác đồng dạng


Bài 1.
a) Trong tam giác ABC phân giác (trong hay ngoài) BD được vẽ. Chứng minh rằng AD/DC=AB/BC.
b) Chứng minh rằng nếu I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và AA_1 là phân giác trong của tam giác ABC thì AI/IA_1=b+c/a.
Bài 2. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng a, độ dài cạnh còn lại bằng b. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài 3. Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình vuông ABCD cắt cạnh DC tại E, cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng 1/AE^2+1/AF^2=1AB^2.
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC với hai đường cao BB_1,CC_1. Lấy B_2 trên BB_1, C_2 trên  CC_1 sao cho góc AB_2C=góc AC_2B=90^0. Chứng minh rằng AB_2=AC_2. Continue reading “Tam giác đồng dạng”

Mở đầu về đường tròn (1)


Bài 1. Cho đường tròn (O)AB là một dây của nó không đi qua tâm. Gọi C là điểm nằm trên tia đối của tia AB và khác A. Chứng minh rằng C nằm bên ngoài đường tròn.
Bài 2. Cho đường tròn (O)AB là một dây của nó không đi qua tâm. Gọi C là điểm nằm trên đoạn AB và khác A,B. Chứng minh rằng C nằm bên trong đường tròn.
Bài 3. Cho  (O;4). Vẽ dây cung AB=5. C là điểm trên dây AB sao cho  AC=2. Gọi D là hình chiếu của C trên OA. Tính  AD.
Bài 4. Cho (O;3). Vẽ dây cung AB=4.  M là điểm trên đoạn OA sao cho OM=1. Đường thẳng vuông góc với OA tại M cắt AB tại C. Tính AC.
Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp  (O). Gọi H là trực tâm của tam giác và K là hình chiếu của O trên BC. Chứng minh rằng AH=2OK. Nếu tam giác ABC không nhọn thì kết quả sẽ thế nào?
Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O). Gọi G là trọng tâm, H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng O,G,H thẳng hàng (đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Euler của tam giác). Nếu tam giác ABC không nhọn thì kết quả sẽ thế nào? Continue reading “Mở đầu về đường tròn (1)”

Hình thang


Bài 1. Cho hình thang ABCD\,\, (AB||CD) với AD+BC=CD. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc AB cắt nhau tại một điểm trên cạnh CD.
Bài 2. Cho hình thang cân ABCD\widehat{C}=60^{\circ} và đáy nhỏ AD bằng cạnh bên. Biết chu vi của hình thang bằng 10. Tính
1) các cạnh của hình thang;
2) chiều cao của hình thang.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AC,AB lấy tương ứng hai điểm E,D sao cho AD=AE.
a) Tứ giác BDEC là hình gì?
b) Tìm vị trí của D,E sao cho BD=DE=EC.
Bài 4. Cho hình thang ABCD\,\, (AB||CD,AB<CD). Chứng minh rằng DC-AB<AD+BC. Continue reading “Hình thang”

Bài tập về hàm cộng tính (1)


Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f liên tục trên \mathbb{R}f(f(x+y))=f(x)+f(y)\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho
f(f(x)+yz)=x+f(y)f(z)\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}.
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho
f(f^2(x)+y)=x^2+f(y)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f liên tục trên \mathbb{R}
f(x+y-f(y))=f(x)+f(y-f(y))\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho
f(x^2+f(y))=y+f^2(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}. Continue reading “Bài tập về hàm cộng tính (1)”