Bài tập số học (2)


Đây là các bài tập dành cho học sinh THCS chuẩn bị thi Olympic Toán giữa các thành phố năm 2015 (Tournament of Towns 2015).

Các em có thể tham khảo thêm ở https://nttuan.org/2015/10/09/topic-696/ hoặc https://nttuan.org/2015/10/10/topic-697/

Bài 1. Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng phân số \displaystyle\frac{21n+4}{14n+3} là phân số tối giản.
Bài 2. Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng \gcd (n!+1,(n+1)!+1)=1.
Bài 3. Cho hai số nguyên ab nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng aba^2+b^2 nguyên tố cùng nhau.
Bài 4. Cho hai số nguyên dương mn thỏa mãn mn|m^2+n^2. Chứng minh rằng m=n.
Bài 5 (Tournament of Towns, 1998). Cho các số nguyên dương m,n thỏa mãn \text{lcm} (m+5,m)=\text{lcm} (n+5,n). Chứng minh rằng m=n.
Bài 6 (Tournament of Towns, 2013). Cho số nguyên dương n thỏa mãn
\gcd (n,n+1)<\gcd (n,n+2)<\cdots<\gcd (n,n+35). Chứng minh rằng \gcd (n,n+35)<\gcd (n,n+36).
Bài 7 (Tournament of Towns, 2000). Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn \text{lcm} (a,b,c,d)=a+b+c+d. Chứng minh rằng abcd chia hết cho 3 hoặc 5.
Bài 8 (Tournament of Towns, 2001). Tồn tại hay không các số nguyên dương a_1<a_2<\cdots<a_{100} sao cho với mỗi số nguyên dương k=2,3,\cdots,99, \gcd (a_{k-1},a_k)>\gcd (a_k,a_{k+1})?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s