Bài tập mở đầu về Phương trình hàm


Bài 1. Hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(xy)=\dfrac{f(x)+f(y)}{x+y}\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R},x+y\not =0. Hỏi có hay không x_0\in\mathbb{R} để f(x_0)\not =0?
Bài 2. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 3. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn f(xy)=xf(y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R} và
f(x+y)=f(x^{1993})+f(y^{1993})\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 4. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(f(x)+y)=yf(x-f(y))\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 5. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn f(0)=\dfrac{1}{2} và có số a sao cho
f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 6. Cho các số nguyên dương \alpha,\beta. Tìm tất cả f:(0;+\infty)\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(x)f(y)=y^{\alpha}f\left(\dfrac{x}{2}\right)+x^{\beta}f\left(\dfrac{y}{2}\right)\,\,\,\forall x,y>0.
Bài 7. Tìm tất cả f:(0;+\infty)\to\mathbb{R} thỏa mãn f(1)=\dfrac{1}{2} và
f(xy)=f(x)f\left(\dfrac{3}{y}\right)+f(y)f\left(\dfrac{3}{x}\right)\,\,\,\forall x,y>0.
Bài 8. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} sao cho
f(f(m)+f(n))=m+n\,\,\forall m,n\in\mathbb{N}.
Bài 9. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(x^2+f(y))=xf(x)+y\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 10. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 11. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Bài 12. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+f^2(y)\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 13. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}
và f(x)=0 chỉ có hữu hạn nghiệm.
Bài 14. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\setminus \{0,1\}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(x)+f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=\dfrac{2(1-2x)}{x(1-x)}\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}\setminus \{0,1\}

3 thoughts on “Bài tập mở đầu về Phương trình hàm”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s