Bài tập mở đầu về Phương trình hàm


Bài 1. Hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(xy)=\dfrac{f(x)+f(y)}{x+y}\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R},x+y\not =0. Hỏi có hay không x_0\in\mathbb{R} để f(x_0)\not =0?
Bài 2. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 3. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn f(xy)=xf(y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}
f(x+y)=f(x^{1993})+f(y^{1993})\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 4. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(f(x)+y)=yf(x-f(y))\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 5. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn f(0)=\dfrac{1}{2} và có số a sao cho
f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 6. Cho các số nguyên dương \alpha,\beta. Tìm tất cả f:(0;+\infty)\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(x)f(y)=y^{\alpha}f\left(\dfrac{x}{2}\right)+x^{\beta}f\left(\dfrac{y}{2}\right)\,\,\,\forall x,y>0.
Bài 7. Tìm tất cả f:(0;+\infty)\to\mathbb{R} thỏa mãn f(1)=\dfrac{1}{2}
f(xy)=f(x)f\left(\dfrac{3}{y}\right)+f(y)f\left(\dfrac{3}{x}\right)\,\,\,\forall x,y>0. Continue reading “Bài tập mở đầu về Phương trình hàm”