Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên


Cho hai số nguyên a,b không đồng thời bằng 0. Một số nguyên là ước của cả ab sẽ được gọi là một ước chung của ab. Tập các ước chung của ab là một tập hợp hữu hạn, phần tử lớn nhất của tập hợp này được gọi là ước chung lớn nhất của ab, ký hiệu \gcd (a,b). Ước chung lớn nhất của nhiều số hơn được định nghĩa tương tự.
Cho hai số nguyên mn khác 0. Một số nguyên chia hết cho cả hai mn được gọi là một bội chung của mn. Tập các bội chung của mn là một tập hợp vô hạn và có ít nhất một phần tử dương, phần tử dương bé nhất của tập này được gọi là bội chung bé nhất của mn, ký hiệu \text{lcm} (m,n). Bội chung nhỏ nhất của nhiều số hơn được định nghĩa tương tự.
Ta có các kết quả sau về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.
Tính chất 1. \gcd (a,b+ax)=\gcd (a,b)\,\,\forall x\in\mathbb{Z}.
Tính chất 2. (Bézout) Tồn tại các số nguyên x,y sao cho \gcd (a,b)=xa+yb. Hơn nữa, khi ab là các số nguyên dương thì ta có thể chọn x,y sao cho x>0,y<0 hoặc x<0,y>0.
Tính chất 3. \gcd (a,b)=1\Leftrightarrow 1=xa+yb\,\, (x,y\in\mathbb{Z}).
Tính chất 4. m|am|b khi và chỉ khi m|\gcd (a,b).
Tính chất 5. Nếu m>0 thì \gcd (ma,mb)=m\gcd (a,b).
Tính chất 6. \gcd (a,b)=d thì \gcd (a/d,b/d)=1.
Tính chất 7. Nếu \gcd (a,m)=\gcd (b,m)=1 thì \gcd (ab,m)=1.
Tính chất 8. Nếu \gcd (a,b)=1 thì \gcd (a^m,b^n)=1\,\,\forall m,n\in\mathbb{N}.
Tính chất 9. (Euclid) Nếu b|ac\gcd (a,b)=1 thì b|c.

Tính chất 10. Mỗi bội chung của a,b là một bội của \text{lcm} (a,b).
Tính chất 11. Nếu a,b là hai số nguyên dương thì \gcd (a,b).\text{lcm} (a,b)=ab.

1 thought on “Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s