Bài tập số học (1)


Dành cho các cháu cấp 2 chuẩn bị thi Olympic Toán giữa các thành phố năm 2015 (Tournament of Towns 2015).

Bài 1 (Tournament of Towns, 2011). Một số nguyên n>1 được viết trên bảng. Dũng thay nó bởi n+d hoặc n-d với d>1 là một ước của n. Làm lại thao tác này với số n mới. Hỏi Dũng có thể đạt được số 17 sau một số thao tác trên hay không?
Bài 2. (Tournament of Towns, 2012). Xét các số nguyên dương n thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) n có ít nhất 10 chữ số và hai chữ số cạnh nhau thì khác nhau;
2) Để viết n ta cần dùng đúng 2 chữ số.
Tìm lũy thừa lớn nhất của 2 có thể chia hết n.
Bài 3. Giả sử có n số nguyên có tính chất: Hiệu giữa tích của n-1 số bất kỳ và số còn lại là bội của n. Chứng minh rằng tổng bình phương của các số này cũng là một bội của n.
Bài 4 (Tournament of Towns, 2000). Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn ad-bc>1. Chứng minh rằng ít nhất một trong các số a,b,c,d không chia hết cho ad-bc.
Bài 5 (Tournament of Towns, 2002). Cho hai số nguyên dương x,y sao cho x^2+xy+y^2 chia hết cho 10. Chứng minh rằng x^2+xy+y^2 chia hết cho 100.
Bài 6 (Tournament of Towns, 2008). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho (n+1)! chia hết cho 1!+2!+\cdots+n!.

2 thoughts on “Bài tập số học (1)”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s