Trường Đông Toán học 2015 – Đợt I


Trích email từ Câu lạc bộ Toán học.

———-

Thời gian: Thứ Bảy 5/12 – Thứ Tư 9/12/2015.

Địa điểm: Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội.

Đối tượng: Các học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi quốc gia năm 2016 và các học sinh chuyên toán THPT.

Nội dung: Các bài giảng nâng cao về Hình học, Số học, Đại số, Tổ hợp và Giải tích.

Giáo viên:

  1. Trần Nam Dũng (ĐH Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Tp. Hồ Chí Minh): Giải tích.
  2. Vũ Thế Khôi (Viện Toán học): Tổ hợp.
  3. Hà Duy Hưng (Trường THPT Chuyên sư phạm): Số học.
  4. Trần Văn Tấn (ĐH Sư phạm): Hình học.
  5. Đoàn Trung Cường (Viện Toán học): Đại số.

Phí tham dự: 800.000 đồng/học sinh, những học sinh có điều kiện tài chính khó khăn có thể làm đơn đề nghị miễn đóng phí tham dự.

Hình thức đăng ký: đăng ký tham dự theo đoàn hoặc với tư cách cá nhân bằng cách gửi các thông tin theo mẫu dưới đây cho Câu lạc bộ trước ngày 23/11/2015.

Thông tin đăng ký và mọi thắc mắc xin gửi về địa chỉ: mathclub@math.ac.vn.

Đề chọn đội VMO 2016


Trong topic này tôi sẽ tổng hợp các đề thi chọn đội tuyển các tỉnh tham dự VMO 2016. Mọi người có thể ủng hộ tôi bằng cách tìm ra lỗi hoặc gửi các đề còn thiếu (qua email hoặc post link). Continue reading “Đề chọn đội VMO 2016”

Trung bình cộng – trung bình nhân (2)


Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi số thực dương x ta có x+\dfrac{1}{x}\geq 2.
Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương x,y,z ta có
xy+yz+zx\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy},(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu a,b,cd là các số thực dương thì
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}\geq 4.
Bài 4. Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng \dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\geq 3\sqrt{3}.
Bài 5. Cho x là một số thực thay đổi nhưng thỏa mãn 0\leq x\leq 1. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a) f(x)=x^2(1-x);
b) g(x)=x(1-x)^2;
c) h(x)=x^m(1-x)^n, với mn là các số nguyên dương cho trước. Continue reading “Trung bình cộng – trung bình nhân (2)”

Bài tập số học (2)


Đây là các bài tập dành cho học sinh THCS chuẩn bị thi Olympic Toán giữa các thành phố năm 2015 (Tournament of Towns 2015).

Các em có thể tham khảo thêm ở https://nttuan.org/2015/10/09/topic-696/ hoặc https://nttuan.org/2015/10/10/topic-697/

Continue reading “Bài tập số học (2)”

Bài tập mở đầu về Phương trình hàm


Bài 1. Hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(xy)=\dfrac{f(x)+f(y)}{x+y}\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R},x+y\not =0. Hỏi có hay không x_0\in\mathbb{R} để f(x_0)\not =0?
Bài 2. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 3. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn f(xy)=xf(y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}
f(x+y)=f(x^{1993})+f(y^{1993})\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 4. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(f(x)+y)=yf(x-f(y))\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 5. Tìm tất cả f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn f(0)=\dfrac{1}{2} và có số a sao cho
f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 6. Cho các số nguyên dương \alpha,\beta. Tìm tất cả f:(0;+\infty)\to\mathbb{R} thỏa mãn
f(x)f(y)=y^{\alpha}f\left(\dfrac{x}{2}\right)+x^{\beta}f\left(\dfrac{y}{2}\right)\,\,\,\forall x,y>0.
Bài 7. Tìm tất cả f:(0;+\infty)\to\mathbb{R} thỏa mãn f(1)=\dfrac{1}{2}
f(xy)=f(x)f\left(\dfrac{3}{y}\right)+f(y)f\left(\dfrac{3}{x}\right)\,\,\,\forall x,y>0. Continue reading “Bài tập mở đầu về Phương trình hàm”

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên


Cho hai số nguyên a,b không đồng thời bằng 0. Một số nguyên là ước của cả ab sẽ được gọi là một ước chung của ab. Tập các ước chung của ab là một tập hợp hữu hạn, phần tử lớn nhất của tập hợp này được gọi là ước chung lớn nhất của ab, ký hiệu \gcd (a,b). Ước chung lớn nhất của nhiều số hơn được định nghĩa tương tự. Continue reading “Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên”