Phép vị tự


Bài 1. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, tâm ngoại tiếp O và trực tâm H. Chứng minh rằng G,OH thẳng hàng. Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn tiếp xúc trong với (ABC) và tiếp xúc với cạnh AB tại P, cạnh AC tại Q. Chứng minh rằng trung điểm của PQ là tâm nội tiếp của tam giác ABC.
Bài 3. Ba đường tròn bằng nhau có một điểm chung O và nằm trong một tam giác cho trước. Mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác. Chứng minh rằng tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp của tam giác và O thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác không cân A_1A_2A_3 với các cạnh a_1,a_2,a_3 (a_i đối diện A_i). M_i là trung điểm của cạnh a_i, T_i là tiếp điểm của a_i với đường tròn nội tiếp tam giác. S_i là điểm đối xứng với T_i qua phân giác trong của đỉnh A_i. Chứng minh rằng các đường thẳng M_iS_i đồng quy.
Bài 5. Cho hai đường tròn C_1,C_2 không bằng nhau, cắt nhau tại hai điểm phân biệt, A là một trong chúng. O_i là tâm của C_i. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với C_i tại P_i, tiếp tuyến còn lại tiếp xúc với C_i tại Q_i. Gọi M_i là trung điểm của P_iQ_i. Chứng minh rằng \widehat{O_1AO_2}=\widehat{M_1AM_2}.
Bài 6. Cho đường tròn C với tiếp tuyến LM\in L. Tìm tập tất cả các điểm P có tính chất: Tồn tại Q,R\in L sao cho M là trung điểm của QRC là đường tròn nội tiếp của \Delta PQR.
Bài 7. Hai đường tròn \Gamma_1,\Gamma_2 nằm trong đường tròn \Gamma và tiếp xúc với \Gamma tại hai điểm phân biệt M,N tương ứng. \Gamma_1 qua tâm của \Gamma_2. Đường thẳng qua hai giao điểm của \Gamma_1\Gamma_2 cắt \Gamma tại A,B. Đường thẳng MA,MB cắt \Gamma_1 tại C,D tương ứng. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của \Gamma_2.
Bài 8. Cho tam giác ABC. Gọi AM,AN lần lượt là trung tuyến, phân giác trong của tam giác. Đường thẳng qua N vuông góc với NA cắt AB tại P, cắt AM tại Q. Đường thẳng qua P vuông góc với AB cắt AN tại O. Chứng minh rằng OQ\bot BC.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s