Dãy các phương trình


Bài 1. Xét phương trình x^{2n+1}=x+1, ở đây n>0 là số nguyên.
1/. Chứng minh rằng với mỗi n, phương trình trên có duy nhất một nghiệm thực;
Kí hiệu nó là x_n.
2/. Tính \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n.
Bài 2. Xét phương trình
\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{4x-1}+\cdots+\dfrac{1}{n^2x-1}=\dfrac{1}{2},
Trong đó n là số nguyên dương.
1/. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có đúng một nghiệm lớn hơn 1. Kí hiệu nghiệm đó là x_n.
2/. Chứng minh rằng \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=4.
Bài 3. Xét phương trình x^n-x^2-x-1=0, ở đây n>2 là số nguyên.
1/. Chứng minh rằng với mỗi n>2, phương trình trên có duy nhất một nghiệm dương. Kí hiệu nó là x_n.
2/. Tính \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n\displaystyle \lim_{n\to\infty} n(x_n-1).
Bài 4. Cho phương trình x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1=0.
1/. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm dương duy nhất với mỗi số nguyên dương n. Kí hiệu nó là x_n.
2/. Tìm \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n.
Bài 5. Cho phương trình x^n-nx+1=0, ở đây n>2 là số nguyên.
1/. Chứng minh rằng trên (0;1)(1;+\infty) phương trình có đúng một nghiệm với mỗi n>2. Kí hiệu chúng là \alpha_n,\beta_n tương ứng.
2/. Tính các giới hạn của hai dãy số (\alpha_n),(\beta_n).
Bài 6. Xét phương trình
\displaystyle \frac{1}{2x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-4}+\cdots+\dfrac{1}{x-n^2}=0, ở đây n là số nguyên dương.
1/. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có đúng một nghiệm trong (0;1). Kí hiệu nghiệm đó là x_n.
2/. Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n.
Bài 7. Cho số thực a>2. Đặt f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+\cdots+x+1\,\, (n=1,2,...). Chứng minh rằng với mỗi n, phương trình f_n(x)=a có đúng một nghiệm x_n>0. Chứng minh rằng dãy (x_n) có giới hạn hữu hạn khi n\to +\infty.
Bài 8. Xét phương trình \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\cdots+\frac{1}{x-n}=0\,\,(n\in\mathbb{N}^*).
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có đúng một nghiệm trong (0;1). Kí hiệu nghiệm đó là x_n.
b) Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n. Tìm giới hạn đó.

1 thought on “Dãy các phương trình”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s