Bài tập về nghiệm thực của Đa thức (2)


Bài 11. Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: với mỗi số nguyên dương n, a^n+b^n+c^n là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là các nghiệm của phương trình x^3+px^2+qx+c=0.
Bài 12. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
xP(x-3)=(x-12)P(x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Bài 13. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
xP(x-3)=(x-11)P(x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Bài 14. Tìm tất cả P\in\mathbb{R}[x] sao cho
(x^3+3x^2+3x+2)P(x-1)= (x^3-3x^2+3x-2)P(x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Bài 15. Cho hai đa thức
P(x)=4x^3-2x^2-15x+9,\,\,\,Q(x)=12x^3+6x^2-7x+1.
Chứng minh rằng
1/. Mỗi đa thức có ba nghiệm thực phân biệt.
2/. Nếu \alpha,\beta lần lượt là nghiệm lớn nhất của P,Q thì \alpha^2+3\beta^2=4.
Bài 16. Các số thực a,b,c thỏa mãn đa thức P(x)=x^3+ax^2+bx+c có ba nghiệm thực (không cần phải khác nhau). Chứng minh rằng 12ab+27c\leq 6a^3+10\sqrt{(a^2-2b)^3}. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 17. Xét các số thực a,b sao cho đa thức ax^3-x^2+bx-1 có ba nghiệm dương (không cần phải khác nhau). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{5a^2-3ab+2}{a^2(b-a)}.
Bài 18. Xét các số thực a,b,c\lambda>0 thỏa mãn đa thức f(x)=x^3+ax^2+bx+c có ba nghiệm thực x_1,x_2,x_3 sao cho
1/. x_2-x_1=\lambda;
2/. x_3>\dfrac{x_1+x_2}{2}.
Tìm giá trị lớn nhất của \dfrac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}.
Bài 19. P là một đa thức bậc 2012 với hệ số thực thỏa mãn
P(a)^3 + P(b)^3 + P(c)^3 \geq 3P(a)P(b)P(c), với mỗi ba số thực a,b,c sao cho a+b+c=0. Liệu P có thể có đúng 2012 nghiệm thực phân biệt?
Bài 20. Cho uv là các số thực thỏa mãn
(u + u^2 + u^3 + \cdots + u^8) + 10u^9 = (v + v^2 + v^3 + \cdots + v^{10}) + 10v^{11} = 8.
So sánh uv.
Bài 21. Với mỗi đa thức P, kí hiệu A_P là tập các nghiệm thực của P. Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của A_P khi P thuộc tập các đa thức với hệ số thực, khác hằng và thỏa mãn P(x^2-1)=P(x)P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

3 thoughts on “Bài tập về nghiệm thực của Đa thức (2)”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s