Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)


Bài 1. (5 điểm) Cho (C):y=\dfrac{2x-1}{x+1}.
1) Xét một điểm M trên (C). Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A,B. Chứng minh rằng diện tích tam giác AIB không phụ thuộc M (ở đây I là giao của hai tiệm cận);
2) Tìm các cặp tiếp tuyến song song của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng lớn nhất.
Bài 2. (4 điểm)
1) Giải phương trình 2x^2-3x+7-3\sqrt[3]{4x+4}=0;
2) Giải hệ phương trình \begin{cases}12x^2=y(4+9x^2)\\ 12y^2=z(4+9y^2)\\ 12z^2=x(4+9z^2).\end{cases}
Bài 3. (3 điểm) Với ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \displaystyle P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}.
Bài 4. (4 điểm) Cho hai điểm A,B cố định trên mặt phẳng (P), AB=a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S sao cho SA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}. Gọi \Delta là đường thẳng nằm trong (P) và đi qua B (không qua A). Trong (P), đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt \Delta tại D. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên \Delta. Trong mặt phẳng (SDB) đường thẳng qua D vuông góc với SB cắt SH,SB lần lượt tại I,K.
1) Chứng minh rằng \displaystyle\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2};
2) Xác định vị trí của \Delta để tam giác AIK có diện tích lớn nhất.
Bài 5. (4 điểm) Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_1=4
u_{n+1}=2u_n+\sqrt{3u_n^2+1}\,\,\forall n\geq 1.
1) Chứng minh rằng u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n\,\,\forall n\geq 1.
2) Chứng minh rằng u_{2015} chia hết cho 5.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s