Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2013 – 2014)


Bài 1. (5 điểm) Cho hàm số y=x^3-3x+4 có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm M,N\in (C) sao cho I(-1/2;2) là trung điểm của MN;
b) Cho ba điểm phân biệt A,B,C\in (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A,B,C cắt (C) tại điểm thứ hai A',B',C' tương ứng. Chứng minh rằng nếu A,B,C thẳng hàng thì A',B',C' cũng thế.
Bài 2. (5 điểm)
a) Giải phương trình 2x^2+2x+5=(4x-1)\sqrt{x^2+3};
b) Giải hệ phương trình \begin{cases}x^3-y^3+3x^2+6x-3y+4=0\\ 2\sqrt{4-x^2}-3\sqrt{3+2y-y^2}-3x+2=0.\end{cases}
Bài 3. (2 điểm) Xét các số thực a,b,c thỏa mãn a\geq 0,b\geq 0,0\leq c\leq 1a^2+b^2+c^2=3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=2ab+3bc+3ca+\dfrac{6}{a+b+c}.
Bài 4. (5 điểm) Trong không gian cho ba tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng. Đặt \widehat{xOy}=\alpha,\widehat{yOz}=\beta\widehat{zOx}=\gamma. Lấy các điểm A,B,C lần lượt nằm trên các tia Ox,Oy,Oz sao cho OA=OB=OC=a>0.
1) Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho BM=2MCI là trung điểm của AM. Tính OI theo a nếu \alpha=\gamma=60^{\circ}\beta=90^{\circ}.
2) Chứng minh rằng \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma>-\dfrac{3}{2}.
Bài 5. (3 điểm) Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_1=2
u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2014}+\dfrac{2013}{2014}u_n\,\,\forall n\geq 1.
a) Chứng minh rằng (u_n) là dãy số tăng;
b) Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{u_i}{u_{i+1}-1}<2014\,\,\forall n\geq 1.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s