Tổng và tích (3)


Dành cho học sinh lớp 11 và 12.🙂

Bài 1. Tính giới hạn của các dãy (u_n) xác định bởi
a) \displaystyle u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1}\,\,\forall n\geq 1.
b) \displaystyle u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\,\,\forall n\geq 2.
c) \displaystyle u_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdots\frac{n^3-1}{n^3+1}\,\,\forall n\geq 2.
Bài 2. Cho dãy (u_n) xác định bởi u_1=2u_{n+1}=u_n^2-u_n+1\,\,\forall n\geq 1. Tìm \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{u_i}.
Bài 3. Cho dãy (u_n) xác định bởi u_1=1u_{n+1}=u_n^2+u_n\,\,\forall n\geq 1. Tìm \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{i=1}^n\frac{u_i}{u_{i+1}}.
Bài 4. (VMO 2009) Cho dãy (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{1}{2}x_n=\dfrac{\sqrt{x^2_{n-1}+4x_{n-1}}+x_{n-1}}{2}\,\,\forall n\geq 2. Với mỗi số nguyên dương n, đặt \displaystyle y_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^2}. Chứng minh rằng dãy (y_n) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài 5. (VMO 2010) Cho dãy số thực (a_n) xác định bởi a_1=5
a_n=\sqrt[n]{a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2\cdot 3^{n-1}}\,\,\forall n\geq 2.
Tìm số hạng tổng quát của dãy và chứng minh dãy số giảm ngặt.
Bài 6. (VMO 2001) Cho dãy số (x_n) xác định bởi
x_1=\dfrac{2}{3},x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}\,\,\forall n\geq 1.
Tính tổng 2001 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 7. Cho dãy (u_n) xác định bởi u_1=1
u_{n+1}=\sqrt{1+u_n(u_n+1)(u_n+2)(u_n+3)}\,\,\forall n\geq 1.
Tìm \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{u_{i}+2}.

Bài 8. Cho dãy các số thực dương (u_n) thỏa mãn \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\to +\infty. Chứng minh rằng \sqrt[n]{u_n}\to +\infty.
Bài 9. Cho dãy (a_n) thỏa mãn a_1=1a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng \dfrac{a}{\sqrt{n}}\to\sqrt{2}.
Bài 10. Cho dãy số (a_n) xác định bởi a_1=1
a_{n+1}=1+a_1a_2\ldots a_n\,\,\forall n\geq 1. Tìm \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s