Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2011 – 2012)


Bài 1. (5 điểm)
1) Giải phương trình x^4+\sqrt{1-x^2}=1;
2) Giải hệ phương trình \begin{cases} x^2+y^2=2xy+1\\ x^5+y^3+1=0.\end{cases}
Bài 2. (4 điểm) Cho P=x^2y+y^2z+z^2x với x,y,z >0. Chứng minh rằng
1) P\geq 3 khi xyz=1.
2) P< \dfrac{4}{27} khi x+y+z=1.
Bài 3. (4 điểm)
1) Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_1=1u_{n+1}=u_n+n với mọi n \geq 1. Tìm \lim \dfrac{u_n}{u_{n+1}};
2) Cho dãy số (v_n) xác định bởi v_1= \sqrt{2015}v_{n+1}=v_n^2-2 với mọi n \geq 1. Chứng minh rằng \lim \dfrac{v_{n+1}^2}{v_1^2 v_2^2\cdots v_n^2}=2011.
Bài 4. (5 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông với các góc vuông tại AB. Gọi O là trung điểm cạnh AB,SO \perp (ABCD). Tính thể tích hình chóp S.OCD và diện tích tam giác SCD biết rằng SO= a\sqrt{3}, AB=BC=2aAD=\dfrac{a}{2}.
2) trong mặt phẳng (P) cho hình thang ABCDAB vuông góc với hai cạnh đáy ADBC. Cạnh AB cố định, cạnh CD thay đổi và có độ dài bằng tổng độ dài hai cạnh đáy. Gọi M là điểm thuộc cạnh CD sao cho DM=DA. Xác định vị trí điểm M trong mặt phẳng (P) để tổng diện tích của hai tam giác ADMBCM là nhỏ nhất.
Bài 5. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (C) là đồ thị hàm số y=\dfrac{x^2-3x+3}{x-1}. MN là các điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị (C). Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng MN không vượt quá 4.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s