Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)


Bài 1. (2 điểm) Cho hàm số y=x^4-2mx^2+2m-3. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Bài 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình \sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1.
2) Giải hệ phương trình \begin{cases} x^3(3y-2)=-8 \\ x(y^3+2)=-6\end{cases}
Bài 3. (4 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=\sqrt{x^2+3x+9}+\sqrt{x^2-3x+9};
2) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b+ab=3. Chứng minh rằng \dfrac{4a}{b+1}+\dfrac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab} \ge 4.
Bài 4. (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N là hai điểm lần lượt trên các đoạn thẳng ABAD (M,N không trùng A) sao cho \dfrac{AB}{AM}+\dfrac{2AD}{AN}=4.
1) Chứng minh rằng khi M,N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định;
2) Gọi VV' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCDS.MBCDN. Chứng minh rằng \dfrac{2}{3} \le \dfrac{V'}{V} \le \dfrac{3}{4}.
Bài 5. (4 điểm) Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_1=2
u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2u_n-1}\ \ n \ge 1, n\in \mathbb{N}.
1) Chứng minh rằng dãy số (u_n) giảm và bị chặn;
2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

1 thought on “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s