Bài tập về nghiệm thực của Đa thức


Qua các bài trước tôi đã giới thiệu lý thuyết mở đầu về đa thức và một số kết quả về nghiệm thực của chúng. Trong bài này tôi sẽ post một số bài tập để các bạn học sinh tự luyện. Trước khi đọc bài này các bạn nên xem lại các bài đó.

Bài 1. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn đồng thời bốn điều kiện
x<y<z,\,\,x+y+z=5,\,\,x^2+y^2+z^2=11,\,\,x^3+y^3+z^3=26. Tìm y.
Bài 2. Chứng minh rằng đa thức x^3-x-1 có đúng một nghiệm thực.
Bài 3. Xét các số thực a,b sao cho đa thức x^3-ax^2+bx-a có ba nghiệm thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của \dfrac{2a^3-3ab+3a}{b+1}.
Bài 4. Cho số nguyên dương nP(x)\in\mathbb{R}[x] có bậc n. Tính P(n+2) nếu P(i)=\dfrac{1}{i}\,\,\forall i=\overline{1,n+1}.
Bài 5. Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng không tồn tại đa thức P(x)\in\mathbb{R}[x] có dạng P(x)=x^n+2nx^{n-1}+2n^2x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\cdots sao cho nó có n nghiệm thực.
Bài 6. Cho P(x)\in\mathbb{R}[x] khác hằng và thỏa mãn
P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)\,\,\forall x\in\mathbb{R}. Chứng minh rằng
1) \deg P là số chẵn;
2) Tồn tại số nguyên dương n sao cho P(x)=(x^2+1)^n.
Bài 7. Chứng minh rằng đa thức P(x)=x(x-2)(x-4)(x-6)+(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) có tất cả các nghiệm là thực.
Bài 8. Cho các cấp số cộng (a_n), \ (b_n) và số nguyên m>2. Xét m tam thức bậc hai P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m. Chứng minh rằng nếu hai tam thức P_1(x),\ P_m(x) đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.
Bài 9. Cho bốn số thực không âm a,b,c,d thỏa mãn điều kiện
2(ab+bc+cd+da+ac+bd)+abc+bcd+abd+acd=16. Chứng minh rằng
a+b+c+d\geq \frac{2}{3}(ab+bc+cd+da+ac+bd). Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 10. Cho đa thức P(x)=1+x^2+x^9+x^{n_1}+\cdots+x^{n_s}+x^{1992}, ở đây các n_i là các số tự nhiên thỏa mãn 9<n_1<n_2<\cdots<n_s<1992. Chứng minh rằng nghiệm thực của P (nếu có) không thể lớn hơn \frac{1-\sqrt{5}}{2}.

4 thoughts on “Bài tập về nghiệm thực của Đa thức”

  1. Em post lời giải cho Bài 10.
    Dùng phương pháp phản chứng.
    Giả sử x_0>\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} là nghiệm thực của P(x), ta thấy ngay 0>1+x+x^3+x^5+\cdots+x^{1991}=\dfrac{(1+x-x^2)-x^{1993}}{1-x^2}>0. Vô lý!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s