Một số ví dụ về nghiệm thực của Đa thức


Chiều nay tôi đã ghi một số kết quả về nghiệm thực của đa thức ở https://nttuan.org/2015/08/19/topic-662/, như đã hứa, bây giờ tôi sẽ đăng một số ví dụ về nghiệm thực của đa thức. Các ví dụ đầu tiên là các áp dụng của những kết quả trên, phần cuối của bài là vài ví dụ về biên của nghiệm.

Ví dụ 1. Cho số nguyên dương n và đa thức P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+1 có các hệ số không âm. Chứng minh rằng nếu P(x)n nghiệm thực thì P(2)\geq 3^n.
Lời giải. Giả sử P(x)n nghiệm thực, ký hiệu chúng là x_1,x_2,\ldots,x_n. Từ giả thiết ta có x_i<0\,\,\forall i=\overline{1,n}P(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n). Suy ra P(2)=\prod_{i=1}^n(2-x_i)=\prod_{i=1}^n(1+1+(-x_i))\geq \prod_{i=1}^n3\sqrt[3]{-x_i}=3^n\sqrt[3]{\prod_{i=1}^{n}(-x_i)}. Mà theo công thức Vieta ta có \displaystyle\prod_{i=1}^n x_i=(-1)^n, hay \displaystyle\prod_{i=1}^n (-x_i)=1, suy ra P(2)\geq 3^n.
Ví dụ 2. Cho ba số thực a,bc thỏa mãn a+b+c>0,ab+bc+ca>0abc>0. Chứng minh rằng a>0,b>0c>0.
Lời giải. Đặt p=a+b+c,q=ab+bc+car=abc. Ta có p,q,r là các số thực dương và a,b,c là các nghiệm của đa thức P(x)=x^3-px^2+qx-r. Vì p,q,r là các số thực dương nên P(x)<0\,\,\forall x\in (-\infty;0], suy ra a,b,c là các số thực dương.
Ví dụ 3. (USAMO 1975) Cho P(x)\in\mathbb{R}[x] có bậc n>0 sao cho P(k)=\dfrac{k}{k+1}\,\,\forall k=\overline{0,n}. Tính P(n+1).
Lời giải. Xét đa thức Q(x)=(x+1)P(x)-x. Theo giả thiết thì Q(x) là một đa thức với hệ số thực, bậc bằng n+1 và có n+1 nghiệm là 0,1,\ldots,n. Suy ra tồn tại số thực c\not=0 sao cho Q(x)=cx(x-1)\cdots (x-n). Vì Q(x)=(x+1)P(x)-x nên Q(-1)=1, do đó 1=c(-1)(-2)\cdots (-n-1), suy ra c=\dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}(x+1)P(x)-x=\dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1)\cdots (x-n).\,\, (*) Từ (*) ta có (n+2)P(n+1)-n-1=\dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}(n+1)n\cdots 1, suy ra P(n+1)=\dfrac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}.
Ví dụ 4. Cho bốn số thực không âm x_1,x_2,x_3x_4. Chứng minh rằng
\sqrt[3]{\dfrac{x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_3x_4x_1+x_4x_1x_2}{4}}\leq \sqrt{\dfrac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1+x_2x_4+x_1x_3}{6}}
Lời giải. Ta thấy x_1,x_2,x_3x_4 là các nghiệm của đa thức
P(x)=x^4-\sigma_1x^3+\sigma_2x^2-\sigma_3x+\sigma_4.
P(x) có bậc 4 và có 4 nghiệm thực không âm nên đa thức P'(x)=4x^3-3\sigma_1x^2+2\sigma_2x-\sigma_33 nghiệm thực không âm. Gọi y_1,y_2,y_3 là các nghiệm của P'(x). Theo công thức Vieta ta có y_1+y_2+y_3=\frac{3}{4}\sigma_1,\,\,y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1=\frac{1}{2}\sigma_2,\,\, y_1y_2y_3=\frac{1}{4}\sigma_3. Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \sqrt[3]{y_1y_2y_3}\leq \sqrt{\dfrac{y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1}{3}}. Bất đẳng thức cuối đúng theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Bài toán được giải.
Nhận xét. Kết quả trên là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Maclaurin: Cho số nguyên dương nn số thực không âm x_1,x_2,\cdots, x_n. Đặt S_k=\dfrac{\sigma_k}{C_n^k}\,\,\forall k=\overline{1,n}. Ta có dãy bất đẳng thức sau S_1\geq \sqrt{S_2}\geq \sqrt[3]{S_3}\geq\cdots\geq\sqrt[n]{S_n}. Bạn đọc hãy chứng minh kết quả này xem như bài tập.
Ví dụ 5. Tìm tất cả các đa thức P(x) khác hằng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) Tất cả các hệ số của P(x) thuộc \{-1;1\};
2) P(x)\deg P nghiệm thực.
Lời giải. Giả sử P(x) là một đa thức thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Đặt \deg P=n và viết P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.
Không mất tính tổng quát, ta cho là a_n=1.
Gọi x_1,x_2,\ldots,x_n là các nghiệm của P(x). Theo công thức Vieta ta có \sum_{i=1}^n x_i^2=\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2-2\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j=\frac{a^2_{n-1}}{a_n^2}-2a_{n-2}=1-2a_{n-2}\leq 3\,\, (1)\displaystyle\prod_{i=1}^n|x_i|=1\,\, (2).
Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có
\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2\geq n\,\, (3) (ta đã dùng (2)).
Từ (1)(3) ta được n\leq 3. Xét ba trường hợp
1) n=3
Ta tìm được P(x)=x^3-x\pm (x^2-1).
2) n=2
Ta tìm được P(x)=x^2\pm x-1.
3) n=1
Ta tìm được P(x)=x\pm 1.
Vậy có tất cả 12 đa thức thỏa mãn, đó là
x^3+x^2-x-1,\,\,-x^3-x^2+x+1,\,\,x^3-x^2-x+1,\,\,-x^3+x^2+x-1,
x^2+x-1\,\,-x^2-x+1,\,\,x^2-x-1,\,\, -x^2+x+1,
x+1,\,\,-x-1,\,\,x-1,\,\, -x+1.
Ví dụ 6. Cho số nguyên dương n và đa thức \displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\in\mathbb{R}[x] có bậc n. Chứng minh rằng x_0 là một nghiệm thực của P(x) thì |x_0|<1+\max_{0\leq i\leq n-1}\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|.
Lời giải. Đặt \displaystyle M=\max_{0\leq i\leq n-1}\left|\frac{a_i}{a_n}\right|. Giả sử x_0 là một nghiệm thực của P(x). Xét hai trường hợp
1) |x_0|\leq 1
Ta có |x_0|\leq 1\leq 1+M, suy ra |x_0|\leq 1+M, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi |x_0|=1M=0. Khi M=0 ta có a_0=a_1=\cdots=a_{n-1}=0P(x)=a_nx^n, suy ra x_0=0, không thể xảy ra điều này vì |x_0|=1. Vậy trong trường hợp này ta có |x_0|<1+M.
2) |x_0|>1
x_0 là nghiệm của P(x) nên \displaystyle |x_0|^n=\left|\frac{a_{n-1}}{a_n}x_0^{n-1}+\frac{a_{n-2}}{a_n}x_0^{n-2}+\cdots+\frac{a_{0}}{a_n}\right|.
Suy ra |x_0|^n\leq M(1+|x_0|+\cdots+|x_0|^{n-1})=M\dfrac{|x_0|^n-1}{|x_0|-1}\,\, (1). Từ |x_0|>1 ta có M>0|x_0|^n-1>0. Do đó nếu |x_0|\geq 1+M thì \displaystyle M\dfrac{|x_0|^n-1}{|x_0|-1}\leq |x_0|^n-1\,\, (2). Kết hợp (1) với (2) ta có |x_0|^n\leq |x_0|^n-1, điều này không thể xảy ra. Vậy trong trường hợp này ta cũng có |x_0|<1+M.
Bài toán được giải.
Ví dụ 7. Cho P(x)\in\mathbb{R}[x] có bậc là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng P(x) có nghiệm thực.
Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta coi hệ số cao nhất của P(x) là số thực dương. Ta có \displaystyle\lim_{x\to +\infty}P(x)=+\infty\displaystyle\lim_{x\to -\infty}P(x)=-\infty (vì \deg P là số lẻ), suy ra tồn tại các số thực a>0b<0 sao cho P(a)>0P(b)<0. Bây giờ chỉ việc để ý rằng P(x) liên tục trên \mathbb{R} ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 8. (Định lý Cauchy) Cho số nguyên dương n và đa thức
f(x)=x^n-b_{n-1}x^{n-1}-b_{n-2}x^{n-2}-\cdots-b_0, ở đây b_0,b_1,\ldots,b_{n-1} là các số thực không âm và có ít nhất một số khác 0.
1) Chứng minh rằng f(x) có một nghiệm dương duy nhất. Kí hiệu nghiệm này là p;
2) Chứng minh rằng nếu x_0 là một nghiệm thực của f(x) thì |x_0|\leq p.
Lời giải. Trên (0;+\infty) phương trình f(x)=0 tương đương với
\frac{b_{n-1}}{x}+\frac{b_{n-2}}{x^2}+\cdots+\frac{b_0}{x^n}-1=0\,\, (*)
Hàm số \displaystyle g(x)=\frac{b_{n-1}}{x}+\frac{b_{n-2}}{x^2}+\cdots+\frac{b_0}{x^n}-1 nghịch biến và liên tục trên (0;+\infty) đồng thời \displaystyle \lim_{x\to 0^+}g(x)=+\infty,\lim_{x\to +\infty}g(x)=-1 nên phương trình (*) có đúng một nghiệm trên (0;+\infty), do đó phương trình f(x)=0 có đúng một nghiệm dương, ký hiệu nghiệm này bởi \alpha. Vì f'(\alpha)\not=0 nên \alpha là nghiệm đơn của f(x), suy ra đa thức f(x) có nghiệm dương duy nhất.
Bây giờ giả sử x_0 là một nghiệm thực của f(x) thỏa mãn |x_0|>p. Vì g(x) nghịch biến trên (0;+\infty) nên g(|x_0|)<g(p)=0, hay |x_0|^n>b_{n-1}|x_0|^{n-1}+b_{n-2}|x_0|^{n-2}+\cdots+b_0, suy ra f(x_0)\not=0, không thể xảy ra điều này vì x_0 là nghiệm của f(x).
Bài toán được giải.

1 thought on “Một số ví dụ về nghiệm thực của Đa thức”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s