Một số kết quả về nghiệm thực của Đa thức


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số kết quả về nghiệm thực của đa thức. Các kết quả dưới đây cũng đúng với nghiệm phức, phải giới hạn như thế bởi vì tôi đang quan tâm đến bất đẳng thức và các phương pháp Giải tích.

Định lý 1. Cho đa thức P(x) với hệ số thực. Nếu \alpha là một nghiệm thực của P(x) thì tồn tại đa thức Q(x) với hệ số thực sao cho P(x)=(x-\alpha)Q(x).
Định lý 2. Nếu P(x)\in\mathbb{R}[x] có bậc n\in\mathbb{N}^* và có n nghiệm thực (tính cả bội) thì nó có dạng \displaystyle P(x)=c\prod_{i=1}^m(x-a_i)^{b_i}, ở đây m,b_1,b_2,\ldots,b_m là các số nguyên dương thỏa mãn b_1+b_2+\cdots+b_m=n; a_1,a_2,\ldots,a_m là các số thực đôi một khác nhau và c là một số thực khác 0.

Chú ý. Trong biểu diễn trên, c là hệ số cao nhất của P(x) và với mỗi i, số thực a_i là nghiệm của P(x) với bội b_i.
Định lý 3. Nếu P(x)\in\mathbb{R}[x] có bậc n\in\mathbb{N}^* và có n nghiệm thực thì P'(x)n-1 nghiệm thực.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử \displaystyle P(x)=\prod_{i=1}^m(x-a_i)^{b_i}, ở đây m;b_1,b_2,\ldots,b_m là các số nguyên dương và a_1<a_2<\cdots<a_m là các số thực. Với mỗi i, số thực a_i là nghiệm của P'(x) với bội ít nhất b_i-1. Trên mỗi khoảng (a_i;a_{i+1}), P'(x) có ít nhất một nghiệm thực theo định lý Lagrange. Suy ra P'(x) có ít nhất \displaystyle\sum_{i=1}^m(b_i-1)+m-1=n-1 nghiệm thực, kết hợp với \deg P'=n-1 ta có điều phải chứng minh.
Chú ý. Từ chứng minh trên ta thấy các nghiệm của P'(x) nằm trong đoạn [a_1;a_m].
Định lý 4. (Công thức Vieta) Cho số nguyên dương n và đa thức \displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\in\mathbb{R}[x] có bậc n. Nếu P(x)n nghiệm thực x_1,x_2,\ldots,x_n (không cần khác nhau) thì \displaystyle\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}\,\,\forall k=\overline{1,n}.
Chứng minh. Giả sử P(x)n nghiệm thực x_1,x_2,\ldots,x_n. Theo Định lý 1 ta có \displaystyle \sum_{i=0}^na_ix^i=a_n\prod_{i=1}^n(x-x_i), đồng nhất hệ số ta có điều cần chứng minh.
Định lý 5. Cho số nguyên dương nn số thực x_1,x_2,\ldots,x_n. Nếu \displaystyle\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=\sigma_k\,\,\forall k=\overline{1,n} thì x_1,x_2,\ldots,x_n là các nghiệm của đa thức \displaystyle x^n+\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma_kx^{n-k}.
Chứng minh. Khẳng định được suy ra từ \displaystyle x^n+\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma_kx^{n-k}=\prod_{i=1}^n(x-x_i).

 

P.S. Bài tập cho phần này sẽ được đăng vào lúc khác.

1 thought on “Một số kết quả về nghiệm thực của Đa thức”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s