Ba cạnh của tam giác


Các kết quả cơ bản
Kết quả 1. Ba số thực a,bc là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi \begin{cases}a<b+c\\ b<c+a\\ c<a+b.\end{cases}
Kết quả 2. Nếu a,bc là độ dài các cạnh của một tam giác thì \begin{cases}a<b+c\\ b<c+a\\ c<a+b.\end{cases}\begin{cases}a>|b-c|\\ b>|c-a|\\ c>|a-b|.\end{cases}
Kết quả 3. Với mỗi ba điểm A,BC ta có
1/. AB+BC\geq CA;
2/. |AB-BC|\leq CA.
Dấu “=” xảy ra ở 1/. khi và chỉ khi B nằm giữa AC, xảy ra ở 2/. khi và chỉ khi ba điểm đó thẳng hàng và B nằm ngoài đoạn AC hoặc trùng với A,C.


Bài tập
Bài 1.
a) Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng
\max (AB+CD,AD+BC)<AC+BD<AB+BC+CD+DA.
b) Trong mặt phẳng có 2013 điểm màu xanh và 2013 điểm màu đỏ. Nối một điểm xanh với một điểm đỏ ta được 2013 đoạn thẳng. Chứng minh rằng có ít nhất một cách nối sao cho các đoạn thẳng này đôi một không có điểm chung.
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD thỏa mãn AB+BD\leq AC+CD. Chứng minh rằng AB<AC.

Bài 3. Cho tam giác ABC với trung tuyến AD. Chứng minh rằng
AD<\dfrac{AB+AC}{2}.
Bài 4. Cho tứ giác lồi ABCD với M,N là trung điểm của AD,BC tương ứng. Chứng minh rằng MN=\frac{AB+CD}{2}\Leftrightarrow AB||CD.
Bài 5. Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng với mỗi điểm O, ta có |OA-OB|\leq 2OM.
Bài 6. Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng AB+AC>MB+MC.
Bài 7. Cho tam giác ABC với chu vi p.
a) Chứng minh rằng với mỗi điểm M nằm trong tam giác ABC, ta có \frac{1}{2}p<MA+MB+MC<p.
b) Gọi AA',BB',CC' là các trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng
\frac{3}{4}p<AA'+BB'+CC'<p.
Bài 8. Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng với mỗi điểm M nằm trong hình chữ nhật đó ta có MA+MB+MC+MD<AB+AC+AD.
Bài 9. Cho bốn điểm A,B,CD. Chứng minh rằng với mỗi điểm M nằm trên đoạn thẳng AB ta có MC+MD\leq\max (AC+AD,BC+BD).
Bài 10. Cho hai điểm A,B và đường thẳng d sao cho A,B không nằm trên d. Tìm M\in d để MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC. Xét các điểm D,E,F lần lượt nằm trên các cạnh BC,CA,AB sao cho chúng không thẳng hàng. Tìm vị trí của các điểm đó để tam giác DEF có chu vi nhỏ nhất.
Bài 12. Cho tam giác đều ABC. Tìm tất cả các điểm M sao cho MA,MBMC là ba cạnh của một tam giác.
Bài 13. Cho 7 số thực nằm trong (1;13). Chứng minh rằng có thể chọn 3 trong chúng để làm độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 14. (China 1988) Cho số tự nhiên n>2a_1,a_2,\cdots,a_n là các số thực dương thỏa mãn (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^2>(n-1)(a_1^4+a_2^4+\cdots+a_n^4). Chứng minh rằng với mỗi i<j<k, các số a_i,a_j,a_k là độ dài các cạnh của một tam giác.
Bài 15. (VNTST 2012) Chứng minh rằng C=10\sqrt{24} là hằng số lớn nhất sao cho nếu có 17 số thực dương a_1,a_2,\ldots,a_{17} thỏa mãn đồng thời hai điều kiện a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{17}^2=24,\,\,\, a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{17}^3+a_1+a_2+\cdots+a_{17}<C thì với mỗi i<j<k, các số a_i,a_j,a_k là độ dài các cạnh của một tam giác.
Bài 16. (IMO 2004) Cho số tự nhiên n>2a_1,a_2,\cdots,a_n là các số thực dương thỏa mãn n^2+1>\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right). Chứng minh rằng với mỗi i<j<k, các số a_i,a_j,a_k là độ dài các cạnh của một tam giác.
Bài 17. Cho bốn số thực a,b,cd. Tìm điều kiện để bốn số đó là độ dài bốn cạnh của một tứ giác lồi.

2 thoughts on “Ba cạnh của tam giác”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s