Tính chia hết và thuật toán chia


Định nghĩa
Cho hai số nguyên ab với b\not=0. a được gọi là chia hết cho b, ký hiệu b|a, nếu tồn tại số nguyên c sao cho a=bc.
Khi b|a ta còn nói a là bội của b, b là ước của a, hay b chia hết a.
Tính chất
Tính chất 1. Nếu a|bb|c thì a|c.
Tính chất 2. Nếu b|cb|a thì b|mc+na\,\,\forall m,n\in\mathbb{Z}.
Tính chất 3. Nếu a|bb\not=0 thì |a|\leq |b|.
Tính chất 4. Nếu n là số nguyên dương và x,y là hai số nguyên khác nhau thì x-y|x^n-y^n.
Tính chất 5. Nếu n là số nguyên dương lẻ và x,y là hai số nguyên thỏa mãn x+y\not=0 thì x+y|x^n+y^n.
Thuật toán chia
Nếu ab là các số nguyên với b>0 thì tồn tại duy nhất cặp số nguyên (q,r) thỏa mãn a=bq+r0\leq r<b. q được gọi là thương trong phép chia a cho b, r được gọi là dư.
Chú ý. r=\left[\frac{a}{b}\right].

Bài tập
Bài 1. Chứng minh rằng 100\cdots 01 (200 chữ số 0) chia hết cho 1001.
Bài 2. Cho các số nguyên dương mn thỏa mãn m>n.
Chứng minh rằng 2^{2^n}+1|2^{2^m}-1.

Bài 3. Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của n. Chứng minh rằng \forall n\in\mathbb{N}: 9|n\Leftrightarrow 9|S(n).
Bài 4. Cho các số nguyên dương m,n với m>2.
Chứng minh rằng 2^m-1 không chia hết 2^n+1.
Bài 5. Cho các số nguyên dương nk. Chứng minh rằng trong dãy 1,2,\cdots,n có đúng \left[\frac{n}{k}\right] số chia hết cho k.
Bài 6. Với mỗi số nguyên dương n=\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_1}, ký hiệu T(n)=a_1-a_2+\cdots+(-1)^{k-1}a_k.
Chứng minh rằng \forall n\in\mathbb{N}^*: 11|n\Leftrightarrow 11|T(n).
Bài 7. Giả sử có n số nguyên có tính chất: Hiệu giữa tích của n-1 số bất kỳ và số còn lại là bội của n. Chứng minh rằng tổng bình phương của các số này cũng là một bội của n.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s