Bài tập mở đầu về đa thức


Trong bài này tôi sẽ gửi một số bài tập về đa thức, các kiến thức cần dùng đã có ở đây https://nttuan.org/2015/07/29/topic-653/

Bài 1. Tìm đa thức P với hệ số thực trong các trường hợp
1/. P(x-1)=x^2+3x-1\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
2/. P(x-2)=x^3-6x^2+12x+8\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
3/. P(x)-P(x-1)=x\,\,\forall x\in\mathbb{R}\deg P=2.
Bài 2. Có hay không các đa thức P,Q với hệ số thực thỏa mãn \dfrac{P(n)}{Q(n)}=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{i}\,\,\forall n\geq 1?
Bài 3. Cho số nguyên dương n và đa thức f(x)=\sum a_ix^i có bậc n. Lập đa thức (x-b)f(x)=\sum c_ix^i với b là số thực nào đấy. Chứng minh rằng A\leq (n+1)C, ở đây A=\max |a_i|C=\max |c_i|.
Bài 4. Tìm tất cả các số thực a,b sao cho đa thức x^4+4x^3+ax^2+bx+1 là bình phương của một đa thức với hệ số thực.
Bài 5. Cho P là một đa thức với hệ số thực thỏa mãn P^2 là đa thức của x^2. Chứng minh rằng P hoặc P/x cũng là đa thức của x^2.
Bài 6. Cho PQ là các đa thức monic với hệ số thực thỏa mãn P(P(x))=Q(Q(x)). Chứng minh rằng P=Q.
Bài 7. Cho P là một đa thức với hệ số thực thỏa mãn
P(\sin x)=P(\cos x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}. Chứng minh rằng P là đa thức của x^4-x^2.
Bài 8. Tìm số tất cả các đa thức P có bậc không lớn hơn 3 với các hệ số tự nhiên thỏa mãn P(3)=2000.
Bài 9. Cho số nguyên dương k. Tìm hệ số của x^2 trong đa thức P_k(x)=(\cdots ((x-2)^2-2)^2-\cdots-2)^2 (có tất cả k cặp ngoặc).

1 thought on “Bài tập mở đầu về đa thức”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s