Đa thức – Định nghĩa và các phép toán


Định nghĩa
Trong mục này \mathbb{K} sẽ được hiểu là \mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q} hay \mathbb{Z}.

Gọi D là một tập con của \mathbb{K}. Một hàm f:D\to\mathbb{C} được gọi là một đa thức trên D nếu có số tự nhiên n và các hằng số a_n,a_{n-1},\cdots,a_0 sao cho
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,\forall x\in D.
Sau đây nếu không nói cụ thể ta sẽ luôn hiểu là D=\mathbb{K}.
Với đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,(a_n\not =0), ta sẽ gọi các a_i là các hệ số của f, a_n là hệ số cao nhất, a_0 là hệ số tự do. f được gọi là monic nếu a_n=1. Số n được gọi là bậc của f, ta viết \deg f=n và quy ước bậc của đa thức 0 (là đa thức mà f(x)=0\,\,\forall x\in\mathbb{K}) bằng -\infty.
Đa thức f được gọi là đa thức hằng nếu có hằng số C\in\mathbb{K} thỏa mãn f(x)=C\,\,\forall x\in\mathbb{K}, theo trên ta có nếu C là một hằng số khác 0 thì \deg C=0.
Tập các đa thức với hệ số thuộc \mathbb{K} cùng với đa thức 0 sẽ được ký hiệu là \mathbb{K}[x].
Hai đa thức f,g\in\mathbb{K}[x] được gọi là bằng nhau, và viết f=g, nếu chúng cùng là đa thức 0 hoặc cả hai khác 0 đồng thời \deg f=\deg g và các hệ số tương ứng bằng nhau.
Cho r\in\mathbb{C}f(x)=\sum a_ix^i\in\mathbb{K}[x]. Giá trị của f tại r là một số phức, kí hiệu bởi f(r), và được cho bởi f(r)=\sum a_ir^i, r được gọi là nghiệm của f nếu f(r)=0. Số r được gọi là nghiệm bội k\,\,(k\in\mathbb{N}^*) của f nếu f(x)=(x-r)^kg(x), ở đây g là một đa thức không nhận r làm nghiệm. Nếu f là một đa thức có bậc dương thì số nghiệm của f nhiều nhất bằng \deg f tính cả bội (nếu tính nghiệm phức thì có đủ \deg f nghiệm), chỉ có đa thức 0 là đa thức có vô số nghiệm.
Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng và hệ số cao nhất của các đa thức sau
1/. 3x^4-3x^2+1
2/. 6x^2
3/. (2x^3-1)(x+2).
Ví dụ 2. Tìm
1/. Một đa thức monic có bậc 12.
2/. Một đa thức có bậc 5 nhưng không phải là monic.
3/. Một đa thức có bậc 0.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=-P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng \sin x không phải là một đa thức với hệ số thực trên \mathbb{R}.


Các phép toán
Xét hai đa thức f,g\in\mathbb{K}[x] với biểu diễn f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0, ở đây a_i,b_j là các phần tử của \mathbb{K}a_n,b_m không cần phải khác 0 (sau này nếu không quan tâm đến bậc của đa thức thì ta cũng dùng biểu diễn này cho tiện).
Tổng của hai đa thức trên là một phần tử của \mathbb{K}[x] được kí hiệu bởi f+g, và được xác định bởi
(f+g)(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots
Tích của fg là một phần tử của \mathbb{K}[x] được kí hiệu bởi fg, và được xác định bởi
(fg)(x)=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+\cdots
Ta có các tính chất sau
1/. f+(g+h)=(f+g)+h\,\,\forall f,g,h\in\mathbb{K}[x].
2/. f+g=g+f\,\,\forall f,g\in\mathbb{K}[x].
3/. f+0=0+f=f\,\,\forall f\in\mathbb{K}[x].
4/. Với mỗi f\in\mathbb{K}[x] có duy nhất g\in\mathbb{K}[x] thỏa mãn f+g=g+f=0.
Phần tử g này sẽ được kí hiệu bởi -f. Từ đây với mỗi f,g\in\mathbb{K}[x] ta có thể định nghĩa hiệu của fg, kí hiệu f-g, bởi f+(-g).
5/. f(gh)=(fg)h\,\,\forall f,g,h\in\mathbb{K}[x].
6/. fg=gf\,\,\forall f,g\in\mathbb{K}[x].
7/. f\cdot 1=1\cdot f=f\,\,\forall f\in\mathbb{K}[x].
8/. f(g+h)=fg+fh\,\,\forall f,g,h\in\mathbb{K}[x].
Ví dụ 1. Cho hai đa thức P,Q xác định bởi P(x)=x^2-2x+11Q(x)=2x^2-3x+5. Tìm các đa thức P(x)+Q(x),P(x)-Q(x),P(x)Q(x),P(Q(x))Q(P(x)).
Ví dụ 2. Cho P,Q là các đa thức khác 0. Chứng minh rằng
1/. \deg (P+Q)\leq\max (\deg P,\deg Q)
2/. \deg (PQ)=\deg P+\deg Q
3/. \deg (P(Q(x))=\deg (Q(P(x))=\deg P\deg Q.

1 thought on “Đa thức – Định nghĩa và các phép toán”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s