IMO 2015 – Ngày thứ hai


Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn \Omega tâm O. Đường tròn \Gamma tâm A cắt đoạn thẳng BC tại các điểm DE sao cho B,D,E,C đôi một khác nhau và nằm trên đường thẳng BC theo thứ tự đó. Gọi FG là các giao điểm của \Omega \Gamma sao cho A,F,B,C,G nằm trên \Omega theo thứ tự đó. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF với đoạn thẳng AB. Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE với đoạn thẳng CA. Giả sử các đường thẳng FK,GL cắt nhau tại X. Chứng minh rằng X nằm trên đường thẳng AO.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho
f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 6. Cho dãy số nguyên (a_n) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
(i) 1\leq a_j\leq 2015\,\,\forall j\geq 1;
(ii) k+a_k\not =l+a_l với mỗi hai số nguyên dương phân biệt kl.
Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương bN sao cho
\left|\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right|\leq 1007^2 với mỗi hai số nguyên dương mn thỏa mãn n>m\geq N.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s