IMO 2015 – Ngày thứ nhất


Bài 1. Một tập hợp hữu hạn S các điểm nằm trên mặt phẳng là cân bằng nếu như với hai điểm A,B phân biệt thuộc S, luôn tồn tại một điểm C thuộc SAC=BC. Ta gọi tập hợp S là không tâm nếu như với mọi bộ ba điểm A,BC thuộc S, không tồn tại điểm P thuộc S sao cho PA=PB=PC.
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n\geq 3, tồn tại một tập hợp cân bằng có n điểm.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n\geq 3 sao cho tồn tại một tập vừa cân bằng, vừa không tâm và có n điểm.

Bài 2. Xác định tất cả bộ ba (a,b,c) các số nguyên dương sao cho các số sau ab-c,\text{ }bc-a,\text{ }ca-b đều là các lũy thừa của 2.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn với AB>AC. Gọi \Gamma là đường tròn ngoại tiếp tam giác, H là trực tâm của tam giác và F là chân đường cao kẻ từ đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi Q là điểm nằm trên \Gamma sao cho \angle HQA=90^\circ và gọi K là điểm nằm trên \Gamma sao cho \angle HKQ=90^\circ . Giả sử các điểm A,B,C,KQ đều phân biệt và nằm trên \Gamma theo thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KQHFKM tiếp xúc nhau.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s