Đa thức – Định nghĩa và các phép toán


Định nghĩa
Trong mục này \mathbb{K} sẽ được hiểu là \mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q} hay \mathbb{Z}.

Gọi D là một tập con của \mathbb{K}. Một hàm f:D\to\mathbb{C} được gọi là một đa thức trên D nếu có số tự nhiên n và các hằng số a_n,a_{n-1},\cdots,a_0 sao cho
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,\forall x\in D.
Sau đây nếu không nói cụ thể ta sẽ luôn hiểu là D=\mathbb{K}.
Với đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,(a_n\not =0), ta sẽ gọi các a_i là các hệ số của f, a_n là hệ số cao nhất, a_0 là hệ số tự do. f được gọi là monic nếu a_n=1. Số n được gọi là bậc của f, ta viết \deg f=n và quy ước bậc của đa thức 0 (là đa thức mà f(x)=0\,\,\forall x\in\mathbb{K}) bằng -\infty.
Đa thức f được gọi là đa thức hằng nếu có hằng số C\in\mathbb{K} thỏa mãn f(x)=C\,\,\forall x\in\mathbb{K}, theo trên ta có nếu C là một hằng số khác 0 thì \deg C=0.
Tập các đa thức với hệ số thuộc \mathbb{K} cùng với đa thức 0 sẽ được ký hiệu là \mathbb{K}[x].
Hai đa thức f,g\in\mathbb{K}[x] được gọi là bằng nhau, và viết f=g, nếu chúng cùng là đa thức 0 hoặc cả hai khác 0 đồng thời \deg f=\deg g và các hệ số tương ứng bằng nhau.
Cho r\in\mathbb{C}f(x)=\sum a_ix^i\in\mathbb{K}[x]. Giá trị của f tại r là một số phức, kí hiệu bởi f(r), và được cho bởi f(r)=\sum a_ir^i, r được gọi là nghiệm của f nếu f(r)=0. Số r được gọi là nghiệm bội k\,\,(k\in\mathbb{N}^*) của f nếu f(x)=(x-r)^kg(x), ở đây g là một đa thức không nhận r làm nghiệm. Nếu f là một đa thức có bậc dương thì số nghiệm của f nhiều nhất bằng \deg f tính cả bội (nếu tính nghiệm phức thì có đủ \deg f nghiệm), chỉ có đa thức 0 là đa thức có vô số nghiệm.
Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng và hệ số cao nhất của các đa thức sau
1/. 3x^4-3x^2+1
2/. 6x^2
3/. (2x^3-1)(x+2).
Ví dụ 2. Tìm
1/. Một đa thức monic có bậc 12.
2/. Một đa thức có bậc 5 nhưng không phải là monic.
3/. Một đa thức có bậc 0.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=-P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng \sin x không phải là một đa thức với hệ số thực trên \mathbb{R}.

Continue reading “Đa thức – Định nghĩa và các phép toán”

Pompeiu’s theorem


Định lí Pompeiu. Cho tam giác đều ABC và một điểm M nằm trên mặt phẳng chứa tam giác. Khi đó tồn tại một tam giác (có thể suy biến) với độ dài ba cạnh bằng MA,MBMC.

Trong post này tôi sẽ giới thiệu vài tài liệu liên quan đến kết quả trên.

1) Wiki

2) Cut the knot

3) Wolfram Mathworld

4) Bài của 2 bác người Rumani,  bài này có công thức diện tích của tam giác nói đến trong định lí. Nếu link hỏng có thể tải ở đây.

Continue reading “Pompeiu’s theorem”

Một số trang cho tải sách điện tử miễn phí


Đây là một số trang mình hay dùng, bạn nào có trang khác thì bổ sung ở comment nhé!

http://gen.lib.rus.ec/
http://ebookee.org/
http://it-ebooks.info/
http://en.bookfi.org/
http://avaxhome.ws/ebooks
http://libgen.info/
http://libgen.org/
http://btdigg.org/
http://monoskop.org/log/
http://bookova.com/

Continue reading “Một số trang cho tải sách điện tử miễn phí”

Kết quả IMO 2015


Đây là kết quả của đội Việt Nam

IMO2015

Vậy ta có 2 vàng, 3 bạc, và 1 đồng.

Nếu tính theo tổng điểm thì mình thứ 05 các bạn ạ! https://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2015 , xếp trên các bạn Nga. 😛

Năm nay chỉ có 1 bạn 42/42 là A. Song, thuộc đội Canada https://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=19624

IMO 2015 – Ngày thứ hai


Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn \Omega tâm O. Đường tròn \Gamma tâm A cắt đoạn thẳng BC tại các điểm DE sao cho B,D,E,C đôi một khác nhau và nằm trên đường thẳng BC theo thứ tự đó. Gọi FG là các giao điểm của \Omega \Gamma sao cho A,F,B,C,G nằm trên \Omega theo thứ tự đó. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF với đoạn thẳng AB. Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE với đoạn thẳng CA. Giả sử các đường thẳng FK,GL cắt nhau tại X. Chứng minh rằng X nằm trên đường thẳng AO.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho
f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 6. Cho dãy số nguyên (a_n) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
(i) 1\leq a_j\leq 2015\,\,\forall j\geq 1;
(ii) k+a_k\not =l+a_l với mỗi hai số nguyên dương phân biệt kl.
Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương bN sao cho
\left|\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right|\leq 1007^2 với mỗi hai số nguyên dương mn thỏa mãn n>m\geq N.

IMO 2015 – Ngày thứ nhất


Bài 1. Một tập hợp hữu hạn S các điểm nằm trên mặt phẳng là cân bằng nếu như với hai điểm A,B phân biệt thuộc S, luôn tồn tại một điểm C thuộc SAC=BC. Ta gọi tập hợp S là không tâm nếu như với mọi bộ ba điểm A,BC thuộc S, không tồn tại điểm P thuộc S sao cho PA=PB=PC.
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n\geq 3, tồn tại một tập hợp cân bằng có n điểm.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n\geq 3 sao cho tồn tại một tập vừa cân bằng, vừa không tâm và có n điểm.

Bài 2. Xác định tất cả bộ ba (a,b,c) các số nguyên dương sao cho các số sau ab-c,\text{ }bc-a,\text{ }ca-b đều là các lũy thừa của 2.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn với AB>AC. Gọi \Gamma là đường tròn ngoại tiếp tam giác, H là trực tâm của tam giác và F là chân đường cao kẻ từ đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi Q là điểm nằm trên \Gamma sao cho \angle HQA=90^\circ và gọi K là điểm nằm trên \Gamma sao cho \angle HKQ=90^\circ . Giả sử các điểm A,B,C,KQ đều phân biệt và nằm trên \Gamma theo thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KQHFKM tiếp xúc nhau.