VMO 2009


Bài 1. Giải hệ phương trình \begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+2y^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\ \sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\dfrac{2}{9}.\end{cases}

Bài 2. Cho dãy (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{1}{2}

x_n=\dfrac{\sqrt{x^2_{n-1}+4x_{n-1}}+x_{n-1}}{2}\,\,\forall n\geq 2.

Với mỗi số nguyên dương n, đặt \displaystyle y_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^2}.

Chứng minh rằng dãy (y_n) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 3. Cho 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ} và hai điểm cố định A,B\,\, (A\not=B). Xét một điểm C di động trên mặt phẳng sao cho \widehat{ACB}=\alpha. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại D,E,F. Các đường thẳng AI,BI lần lượt cắt đường thẳng EF tại M,N. Chứng minh rằng

1/ Đoạn MN có độ dài không đổi;

2/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4. Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: với mỗi số nguyên dương n, a^n+b^n+c^n là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là các nghiệm của phương trình x^3+px^2+qx+c=0.

Bài 5. Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu tập con S của [2n] có tính chất: trong S không tồn tại các số a,b|a-b|\in\{1,n\}? (Tập rỗng được coi là tập con có tính chất nêu trên.

1 thought on “VMO 2009”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s