VMO 2008


Bài 1. Hãy xác định số nghiệm của \begin{cases}x^2+y^3=29\\ \log_3x\cdot\log_2y=1.\end{cases}

Bài 2. Cho tam giác ABC\widehat{BEC}<90^{\circ}, trong đó E là trung điểm của AB. Trên tia EC lấy M sao cho \widehat{BME}=\widehat{ECA}. Ký hiệu \alpha là số đo của góc \widehat{BEC}. Tính \dfrac{MC}{AB} theo \alpha.

Bài 3. Đặt m=2007^{2008}. Có bao nhiêu số tự nhiên n<m thỏa mãn m|n(2n+1)(5n+2)?

Bài 4. Cho dãy (x_n) xác định bởi x_1=0,x_2=2

x_{n+2}=2^{-x_n}+\dfrac{1}{2}\,\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng dãy này hội tụ. Tìm giới hạn của nó.

Bài 5. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?

Bài 6. Cho x,y,z là các số thực không âm, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

(xy+yz+zx)\left(\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\right)\geq 4.

Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 7. Cho tam giác ABC với trung tuyến AD. Cho đường thẳng d vuông góc với AD. Xét điểm M nằm trên d. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của MB,MC. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt AB tại $P$,  đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên d.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s