VMO 2007


Bài 1. Giải hệ phương trình \displaystyle\begin{cases}\sqrt{x}\left(1-\dfrac{12}{3x+y}\right)=2\\ \sqrt{y}\left(1+\dfrac{12}{3x+y}\right)=6.\end{cases}

Bài 2. Cho x,y\in\mathbb{Z}\setminus \{-1\} thỏa mãn \dfrac{x^4-1}{y+1}+\dfrac{y^4-1}{x+1}\in\mathbb{Z}.  Chứng minh rằng x+1|x^4y^{44}-1.

Bài 3. Cho tam giác ABC2 đỉnh B,C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H,G lần lượt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích A nếu trung điểm của HG nằm trên đường thẳng BC.

Bài 4. Cho một đa giác đều có 2007 đỉnh. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi cách chọn k đỉnh của đa giác luôn tồn tại 4 đỉnh tạo thành một tứ giác lồi mà 3 trong số 4 cạnh của nó là 3 cạnh của đa giác đã cho.

Bài 5. Cho b>0. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(x+y)=f(x).3^{b^y+f(y)-1}+b^x(3^{b^y+f(y)-1}-b^y)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 6. Cho hình thang ABCD có đáy lớn là BC và nội tiếp (O). Gọi P là một điểm thay đổi trên đường thẳng BC và nằm ngoài đoạn BC sao cho PA không là tiếp tuyến của đường tròn (O). Đường tròn đường kính PD cắt (O) tại E khác D. Gọi M là giao điểm của BC với DE, N là giao điểm khác A của PA với (O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 7. Cho số thực a>2. Đặt f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+\cdots+x+1\,\, (n=1,2,...). Chứng minh rằng với mỗi n, phương trình f_n(x)=a có đúng một nghiệm x_n>0. Chứng minh rằng dãy (x_n) có giới hạn hữu hạn khi n\to +\infty.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s