China National Olympiad 2013


Bài 1. Hai đường tròn K_1,K_2 khác bán kính cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi C,D lần lượt là hai điểm trên K_1,K_2 tương ứng sao cho A là trung điểm của CD. Kéo dài DB đến cắt K_1 tại E, kéo dài CB đến cắt K_2 tại F. Gọi l_1,l_2 lần lượt là trung trực của CD,EF.

a) Chứng minh rằng l_1,l_2 cắt nhau. Gọi P là giao điểm của chúng;

b) Chứng minh rằng CA,AP,PE là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

Bài 2. Tìm tất cả các tập con khác rỗng S gồm các số nguyên sao cho 3m-2n\in S\,\,\forall m,n\in S.

Bài 3. Tìm tất cả các số thực dương t sao cho: tồn tại tập vô hạn X các số thực thỏa mãn \max\{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td với mỗi x,y,z\in X, a\in\mathbb{R}d\in (0;+\infty).

Bài 4. Cho số nguyên dương n>1. Có n tập khác rỗng hữu hạn A_1,A_2,\cdots,A_n thỏa mãn |A_i\,\Delta\, A_j|=|i-j|\,\,\forall i,j. Tìm giá trị nhỏ nhất của \displaystyle\sum_{i=1}^n|A_i|.

Bài 5. Với mỗi số nguyên dương n0 \leqslant i \leqslant n, cho C_n^i \equiv c(n,i)\pmod{2} với c(n,i) \in \left\{ {0,1} \right\}. Định nghĩa f(n,q) = \sum\limits_{i = 0}^n {c(n,i){q^i}},  ở đây m,n,q là các số nguyên dương và q + 1 \ne {2^\alpha } với mỗi \alpha \in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu f(m,q)\left| {f(n,q)} \right. thì f(m,r)\left| {f(n,r)} \right. với mỗi số nguyên dương r.

Bài 6. Cho m,n là các số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương N sao cho: nếu tồn tại tập S các số nguyên chứa một hệ đầy đủ modulo m thỏa mãn \left| S \right| = N, thì tồn tại tập khác rỗng A \subseteq S sao cho n| {\sum\limits_{x \in A} x }.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s