China National Olympiad 2013


Bài 1. Hai đường tròn K_1,K_2 khác bán kính cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi C,D lần lượt là hai điểm trên K_1,K_2 tương ứng sao cho A là trung điểm của CD. Kéo dài DB đến cắt K_1 tại E, kéo dài CB đến cắt K_2 tại F. Gọi l_1,l_2 lần lượt là trung trực của CD,EF.

a) Chứng minh rằng l_1,l_2 cắt nhau. Gọi P là giao điểm của chúng;

b) Chứng minh rằng CA,AP,PE là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

Bài 2. Tìm tất cả các tập con khác rỗng S gồm các số nguyên sao cho 3m-2n\in S\,\,\forall m,n\in S.

Bài 3. Tìm tất cả các số thực dương t sao cho: tồn tại tập vô hạn X các số thực thỏa mãn \max\{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td với mỗi x,y,z\in X, a\in\mathbb{R}d\in (0;+\infty).

Continue reading “China National Olympiad 2013”