Đồng quy-Thẳng hàng


Đây là một số bài tập vận dụng các định lý Ceva và Menelaus.Download

1. Cho đường tròn (C) có tâm O. Một đường tròn (C') có tâm X tiếp xúc trong với (C) tại A. Một đường tròn khác có tâm Y, nằm bên trong (C), tiếp xúc với (C) tại B và tiếp xúc với (C') tại Z. Chứng minh rằng XB,YAOZ đồng quy.

2.   Cho tam giác không cân ABC có tâm đường tròn nội tiếp I. Giả sử (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại A_1,B_1,C_1 tương ứng. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác AIA_1,BIB_1,CIC_1 thẳng hàng.

3. Cho tam giác ABC không cân tại A. Gọi AV,AD là phân giác trong và đường cao của tam giác tương ứng. Nếu E,F tương ứng là các giao điểm của (AVD) với hai cạnh CA,AB. Chứng minh rằng AD,BE,CF đồng quy.

4. Cho tam giác ABC và điểm D nằm trên cạnh BC sao cho \widehat{CAD}=\widehat{CBA}. Đường tròn (O) đi qua B,D cắt AB,AD tại E,F tương ứng. BF cắt DE tại G, gọi M là trung điểm của AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

5. Cho tam giác ABC và một đường tròn \omega đi qua hai điểm B,C. Đường tròn \omega_1 tiếp xúc trong với \omega và các cạnh AB,AC tại T,P,Q tương ứng. M là trung điểm của cung BC chứa T của \omega. Chứng minh rằng PQ,BC,MT đồng quy.

6. Cho tam giác nhọn ABCa>b>c. Điểm D nằm trên cạnh BC, E nằm trên cạnh CA sao cho AE=BD,CD+CE=AB. Gọi K là giao điểm của BEAD. Chứng minh KH||IOKH=2IO. Ở đây H,I,O là trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng.

7. Hai đường tròn bán kính bằng nhau với tâm O_1,O_2 cắt nhau tại P,Q. Gọi O là trung điểm của PQ. Hai đường thẳng AB,CD được vẽ qua P nhưng không trùng với PQ, ở đây A,C\in (O_1)B,D\in (O_2). Giả sử M,N là trung điểm của AD,BC tương ứng. Biết O_1,O_2 không nằm trong phần chung của hai hình tròn. Chứng minh M,N,O thẳng hàng.

8. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM cắt phân giác trong BN tại P. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng CPAB. Chứng minh rằng tam giác BNQ cân.

9. Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh AB,BC,CA tại A',B',C' tương ứng. Kí hiệu S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6 là diện tích của các tam giác MA'B,MA'C,MB'C,MB'A,MC'A,MC'B tương ứng. Chứng minh rằng nếu \dfrac{S_1}{S_2}+\dfrac{S_3}{S_4}+\dfrac{S_5}{S_6}=3 thì M là trọng tâm của tam giác ABC.

10. M là điểm nằm trong tam giác ABCN,P,Q là ba điểm thẳng hàng trên các cạnh AB,BC và đường thẳng CA tương ứng. Chứng minh rằng nếu \dfrac{S_{MAN}}{S_{MBN}}+\dfrac{S_{MBP}}{S_{MCP}}=2\sqrt{\dfrac{S_{MAQ}}{S_{MCQ}}} thì \dfrac{NA}{NB}=\dfrac{PB}{PC}.

VMO 2009


Bài 1. Giải hệ phương trình \begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+2y^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\ \sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\dfrac{2}{9}.\end{cases}

Bài 2. Cho dãy (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{1}{2}

x_n=\dfrac{\sqrt{x^2_{n-1}+4x_{n-1}}+x_{n-1}}{2}\,\,\forall n\geq 2.

Với mỗi số nguyên dương n, đặt \displaystyle y_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^2}.

Chứng minh rằng dãy (y_n) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 3. Cho 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ} và hai điểm cố định A,B\,\, (A\not=B). Xét một điểm C di động trên mặt phẳng sao cho \widehat{ACB}=\alpha. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại D,E,F. Các đường thẳng AI,BI lần lượt cắt đường thẳng EF tại M,N. Chứng minh rằng

1/ Đoạn MN có độ dài không đổi;

2/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định.

Continue reading “VMO 2009”

The Pursuit of Beauty – ALEC WILKINSON


I don’t see what difference it can make now to reveal that I passed high-school math only because I cheated. I could add and subtract and multiply and divide, but I entered the wilderness when words became equations and x’s and y’s. On test days, I sat next to Bob Isner or Bruce Gelfand or Ted Chapman or Donny Chamberlain—smart boys whose handwriting I could read—and divided my attention between his desk and the teacher’s eyes. Having skipped me, the talent for math concentrated extravagantly in one of my nieces, Amie Wilkinson, a professor at the University of Chicago. From Amie I first heard about Yitang Zhang, a solitary, part-time calculus teacher at the University of New Hampshire who received several prizes, including a MacArthur award in September, for solving a problem that had been open for more than a hundred and fifty years.

The problem that Zhang chose, in 2010, is from number theory, a branch of pure mathematics. Pure mathematics, as opposed to applied mathematics, is done with no practical purposes in mind. It is as close to art and philosophy as it is to engineering. “My result is useless for industry,” Zhang said. The British mathematician G. H. Hardy wrote in 1940 that mathematics is, of “all the arts and sciences, the most austere and the most remote.” Bertrand Russell called it a refuge from “the dreary exile of the actual world.” Hardy believed emphatically in the precise aesthetics of math. A mathematical proof, such as Zhang produced, “should resemble a simple and clear-cut constellation,” he wrote, “not a scattered cluster in the Milky Way.” Edward Frenkel, a math professor at the University of California, Berkeley, says Zhang’s proof has “a renaissance beauty,” meaning that though it is deeply complex, its outlines are easily apprehended. The pursuit of beauty in pure mathematics is a tenet. Last year, neuroscientists in Great Britain discovered that the same part of the brain that is activated by art and music was activated in the brains of mathematicians when they looked at math they regarded as beautiful.

Continue reading “The Pursuit of Beauty – ALEC WILKINSON”

VMO 2007


Bài 1. Giải hệ phương trình \displaystyle\begin{cases}\sqrt{x}\left(1-\dfrac{12}{3x+y}\right)=2\\ \sqrt{y}\left(1+\dfrac{12}{3x+y}\right)=6.\end{cases}

Bài 2. Cho x,y\in\mathbb{Z}\setminus \{-1\} thỏa mãn \dfrac{x^4-1}{y+1}+\dfrac{y^4-1}{x+1}\in\mathbb{Z}.  Chứng minh rằng x+1|x^4y^{44}-1.

Bài 3. Cho tam giác ABC2 đỉnh B,C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H,G lần lượt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích A nếu trung điểm của HG nằm trên đường thẳng BC.

Continue reading “VMO 2007”

Kết quả VMO 2015 của Quảng Ninh


Dưới đây là kết quả VMO 2015 của Quảng Ninh, đây là kết quả tốt nhất từ khi thành lập hệ Chuyên của Quảng Ninh, quãng 25 năm. Với kết quả này, sang năm đội VMO của Quảng Ninh sẽ được 8 thành viên.

Chúc thầy và trò đội Toán Quảng Ninh thành công hơn nữa.

Continue reading “Kết quả VMO 2015 của Quảng Ninh”

China National Olympiad 2013


Bài 1. Hai đường tròn K_1,K_2 khác bán kính cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi C,D lần lượt là hai điểm trên K_1,K_2 tương ứng sao cho A là trung điểm của CD. Kéo dài DB đến cắt K_1 tại E, kéo dài CB đến cắt K_2 tại F. Gọi l_1,l_2 lần lượt là trung trực của CD,EF.

a) Chứng minh rằng l_1,l_2 cắt nhau. Gọi P là giao điểm của chúng;

b) Chứng minh rằng CA,AP,PE là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

Bài 2. Tìm tất cả các tập con khác rỗng S gồm các số nguyên sao cho 3m-2n\in S\,\,\forall m,n\in S.

Bài 3. Tìm tất cả các số thực dương t sao cho: tồn tại tập vô hạn X các số thực thỏa mãn \max\{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td với mỗi x,y,z\in X, a\in\mathbb{R}d\in (0;+\infty).

Continue reading “China National Olympiad 2013”