USA TSTST 2013


Bài 1. Cho tam giác ABCD, E, F lần lượt là trung điểm của các các cung BC, CA, AB trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng \ell_a đi qua chân các đường vuông góc hạ từ A xuống DBDC.  Đường thẳng m_a qua chân các đường vuông góc hạ từ D xuống ABAC.  Gọi A_1 là giao điểm của các đường thẳng \ell_am_a.  Xác định các điểm B_1C_1 tương tư.  Chứng minh rằng tam giác DEFA_1B_1C_1 là đồng dạng.

Bài 2. Một dãy hữu hạn các số nguyên a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực x thỏa mãn \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k \quad \text{for } 1 \le k \le n. Cho một dãy chính quy a_1, a_2, \dots, a_n, với 1 \le k \le n ta nói số hạng a_kbị bắt buộc  nếu điều kiện sau thỏa mãn: dãy a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy nếu và chỉ nếu b = a_k.  Tìm số lớn nhất các số hạng bị bắt buộc trong một dãy chính quy có 1000 số hạng.

Bài 3. Chia mặt phẳng thành một lưới vô hạn các ô vuông bằng cách vẽ tất cả các đường thẳng x=my=n với m,n \in \mathbb Z.  Nếu một ô vuông con có đỉnh trên bên phải có tọa độ chẵn thì tô nó màu đen, trường hợp còn lại tô màu trắng. Cho rs là các số nguyên lẻ, và cho (x,y) là một điểm nằm ở phần trong của một ô trắng sao cho rx-sy là số vô tỷ. Bắn một tia laser từ điểm này với hệ số góc r/s; các tia laser sẽ đi qua ô trắng và phản xạ khi gặp ô đen. Chứng minh rằng đường đi của tia laser này là đóng.

Bài 4. Đường tròn \omega, có tâm X, tiếp xúc trong với đường tròn \Omega, tâm Y, tại T.  Gọi PS là các điểm di động trên \Omega\omega, tương ứng, sao cho đường thẳng PS tiếp xúc với \omega. Tìm quỹ tích của O, là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PST.

Bài 5. Cho p là một số nguyên tố. Chứng minh rằng mỗi graph đủ có 1000p đỉnh, với các cạnh đã được đánh số bởi các số nguyên, có một chu trình với tổng các nhãn chia hết cho p.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* thỏa mãn

f^{abc-a}(abc) + f^{abc-b}(abc) + f^{abc-c}(abc) = a + b + c với mỗi a,b,c \ge 2. (Ở đây f^1(n) = f(n)f^k(n) = f(f^{k-1}(n)) khi k>1.)

Bài 7. Một nước có n thành phố được đánh số bởi 1,2,3,\dots,n. Người ta muốn xây dựng đúng n-1 con đường giữa các cặp thành phố sao cho mỗi thành phố có thể được đi đến từ mỗi thành phố khác bằng một dãy các con đường. Hơn nữa, không được phép đặt một con đường giữa các thành phố có số khác nhau đúng 1, và cũng không được phép đặt một con đường nối 1n.  Gọi T_n là số cách xây dựng các con đường này.

(a) với n lẻ, chứng minh rằng T_n chia hết n;

(b) với n chẵn, chứng minh rằng T_n chia hết cho n/2.

Bài 8. Định nghĩa f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* bởi f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + 2^{f(n)} với mỗi số nguyên dương n. Chứng minh rằng f(1), f(2), \dots, f(3^{2013})  để lại các số dư khác nhau khi chia cho 3^{2013}.

Bài 9. Cho r là một số hữu tỷ thuộc [-1,1]\theta = \cos^{-1} r. Ta gọi một tập con S của mặt phẳng là tốt nếu S không thay đổi qua phép quay góc \theta quanh mỗi điểm của S (theo cả hai hướng). Tìm r sao cho: Trung điểm của đoạn thẳng nối mỗi hai điểm trong một tập tốt cũng nằm trong tập tốt đó.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s