USA TSTST 2013


Bài 1. Cho tam giác ABCD, E, F lần lượt là trung điểm của các các cung BC, CA, AB trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng \ell_a đi qua chân các đường vuông góc hạ từ A xuống DBDC.  Đường thẳng m_a qua chân các đường vuông góc hạ từ D xuống ABAC.  Gọi A_1 là giao điểm của các đường thẳng \ell_am_a.  Xác định các điểm B_1C_1 tương tư.  Chứng minh rằng tam giác DEFA_1B_1C_1 là đồng dạng.

Bài 2. Một dãy hữu hạn các số nguyên a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực x thỏa mãn \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k \quad \text{for } 1 \le k \le n. Cho một dãy chính quy a_1, a_2, \dots, a_n, với 1 \le k \le n ta nói số hạng a_kbị bắt buộc  nếu điều kiện sau thỏa mãn: dãy a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy nếu và chỉ nếu b = a_k.  Tìm số lớn nhất các số hạng bị bắt buộc trong một dãy chính quy có 1000 số hạng.

Bài 3. Chia mặt phẳng thành một lưới vô hạn các ô vuông bằng cách vẽ tất cả các đường thẳng x=my=n với m,n \in \mathbb Z.  Nếu một ô vuông con có đỉnh trên bên phải có tọa độ chẵn thì tô nó màu đen, trường hợp còn lại tô màu trắng. Cho rs là các số nguyên lẻ, và cho (x,y) là một điểm nằm ở phần trong của một ô trắng sao cho rx-sy là số vô tỷ. Bắn một tia laser từ điểm này với hệ số góc r/s; các tia laser sẽ đi qua ô trắng và phản xạ khi gặp ô đen. Chứng minh rằng đường đi của tia laser này là đóng.

Continue reading “USA TSTST 2013”